なぜ赤い下線部を積分すると右辺の指数aが分母に来るのでしょうか？ 微分の定義を用いてそうなる原理を証

なぜ赤い下線部を積分すると右辺の指数aが分母に来るのでしょうか？
微分の定義を用いてそうなる原理を証明して頂けないでしょうか？
また、区分求積法と何か関係はあるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• なぜ赤い下線部の引かれた画像のように積分すると指数xではなく、指数aが行くのでしょうか？
  詳しく理由を教えて下さい。

    補足日時：2021/07/26 14:34

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/07/26 09:48

e^(ax) を微分すると　ae^(ax) になりますので、

(1/a)e^(ax) を微分すると　e^(ax) になります.

No.2 回答者： akari31 回答日時： 2021/07/26 09:49

置換積分です

ax=tと置くと、dx=(1/a)dt
∫e^(ax)dx=(1/a)∫e^tdt=(1/a)e^t後は、t=axに戻すだけ

No.3 回答者： おいどん2 回答日時： 2021/07/26 09:55

こんにちは。

微分と積分は、対になっているので、右辺の微分が左辺の中身になるというのではダメですか？

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/07/26 11:29

(eªˣ)'=aeªˣだから。

積分は微分の逆演算。

No.5 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/07/26 12:12

ま、置換積分でやれば簡単に求まるでしょう

別方としては　e^xの微分に着目です
定義を持ち出さずとも
(e^x)'=e^x ですから
微分前のもとの関数e^xについての積分は
∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx　です
これを考察して見てください
この右辺は微分したものを積分ですから
もとの関数に戻るのが道理です（積分定数は除いて）
ゆえに　∫(e^x)dx=∫(e^x)'dx=e^x(+C)
このように
∫(●●)'dxという形を作ってあげると　簡単に積分結果は元の●●だと見当がつきます

これと類似のe^axも似た感じだなと目星をつけて
同様にもとの関数を微分してみますと
合成関数の導関数だから
(e^ax)'=(e^ax)・(ax)'=a(e^ax)
よって
e^ax=(a/a)(e^ax)=(1/a)a(e^ax)=(1/a)(e^ax)'
であることがわかりますよね
このことから　微分して積分すれば元の戻るという考えに基づいて
∫e^ax dx=∫(1/a)(e^ax)'
=(1/a)∫(e^ax)'dx
=(1/a)(e^ax) ←←←∫(e^ax)'dxは　e^axを微分して積分だから
　　　　　　　　　　もとのe^axに戻った
以上から分かる通り
1/aとは、　あらかじめ(e^ax)を微分したときに出現したもので
それが最終的には係数として積分記号の外にでたものなんです

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/26 20:44

解析学では、積分自体を

区分求積法をもう少し一般化したような方法で定義し、
その定義に基づいて微積分学の基本定理
(積分が微分の逆操作であること)を証明するのですが、

高校数学では、積分を最初から微分の逆操作として定義します。
高校数学の立場では、 f(x) に対して
dF(x)/dx = f(x) となる F(x) をたまたま知ってたから　←[1]
∫ f(x) dx = F(x) + (積分定数) だと結論できた
という話の順番になっているのです。

微分については、合成関数の微分法則というのがあって
d{ e^(ax) }/dx = d{ e^t }/dx　　　　　； ax = t と置いた
　　　　　　　= ( d{ e^t }/dt )( dt/dx)
　　　　　　　= ( e^t )( a )
　　　　　　　= a e^(ax)　←[2]
なので、 a で割って
d{ (1/a) e^(ax) }/dx = e^(ax) です。　←[3]

この式を [1] の話にあてはめると、
∫ e^(ax) dx = (1/a) e^(ax) + (積分定数) となります。
質問の 1/a は、 [3] 左辺の 1/a であり、
もともとは [2] 右辺の a から出たものです。