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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>∫√(x^2+a^2)dx (A)
>=∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C
>となってるんですが、これはどういうことですか?
少し形が違います。この積分は少しコツがいるので、ぜひ覚えて下さい。以下のように置換します。
t=x+√(x^2+a^2) (B)
すると
t-x=√(x^2+a^2)
両辺二乗すると根号がはずせるので
t^2-2tx+x^2=x^2+a^2
xについて解くと
x=(t-a^2/t)/2⇒dx={(1+a^2/t^2)/2}dt
xを(B)に代入すると (√(x^2+a^2)のxには代入しない)
√(x^2+a^2)=t-(t-a^2/t)/2=(t+a^2/t)/2
これとdxを(A)に代入すれば
(1/4)∫(t+a^2/t)*(1+a^2/t^2)dt
=(1/4)∫(t+2a^2/t+a^4/t^3)dt
={t^2/2+2a^2lnt-a^4/(2t^2)}/4+C (Cは積分定数)
={(t^4-a^4)/(2t^2)+2a^2lnt}/4+C
となりますね。ここでxにもどしますが先に以下の計算をして
t^2=2x^2+a^2+2x√(x^2+a^2) (C)
⇒t^4=(t^2)^2=(2x^2+a^2)^2+2×2x√(x^2+a^2)(2x^2+a^2)+4x^2(x^2+a^2)
⇔ t^4-a^4=8x^2(x^2+a^2)+4x√(x^2+a^2)(2x^2+a^2)
=4x√(x^2+a^2){2x^2+a^2+2x√(x^2+a^2)} (D)
となるので(C),(D)を代入すると
[x√(x^2+a^2)+a^2ln{x+√(x^2+a^2)}]/2+C
となります。
もっと一般にR(x,y)をx,yの有理関数とすると
∫R(x,√(ax^2+bx+c)dx
の積分はb^2-4ac<0の場合t=(√a)x+√(ax^2+bx+c)
とおくとtの有理関数の積分にできます。
No.3
- 回答日時:
これ、式変形するとx^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0
になりますよね?判別式からこの2次曲線は放物線です。
放物線とわかれば、45度回転した図形をさらに平行移動してやりましょう。実際は一次変換などせずに直線y=xとの距離などをグラフから求めてやればいいので。
で、y=ax^2の形にして、そこでおもむろに積分しましょう。ちなみに
∫√{1+(dy/dx)^2}dxで。
No.1
- 回答日時:
媒介変数を三角関数にすると、僕にはできなかったので別の媒介変数にしました。
次に思いつく媒介変数表示はx=t^2 (t>0)⇒dx/dt=2t
でしょうか。よって
y=(1-√x)^2=(1-t)^2⇒dy/dt=2(t-1)
となります。xの定義域は0≦x≦1より,0≦t≦1となります。よって曲線の長さをlとすると
l=∫{0,1}√((dx/dt)^2+(dy/dt)^2)dt
=4∫{0,1}√(2t^2-2t+1)dt
=4√2∫{0,1}√{(t-1/2)^2+1/4}dt
ここで一般に√(x^2+a^2)の不定積分は
[x√(x^2+a^2)+a^2ln{x+√(x^2+a^2)}]/2+C
より,上はこの形なので積分できます。
この回答への補足
ありがとうございます。
媒介変数表示を
x=t^2 (t>0)
として
√(x^2+a^2)
=[x√(x^2+a^2)+a^2ln{x+√(x^2 +a^2)}]/2+C
と公式を使えば解けました。
しかし、この公式がよくわかりません。参考書で調べると、
∫√(x^2+a^2)dx
=∫(t^2+a^2/2t)*(t^2+a^2/2t^2)dt + C
となってるんですが、これはどういうことですか?
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