わかる方がいましたら解説をお願いします

m, kを正の実数とし、s(t)=r((√m/√k)t)と定めると
md^2r(t)/dt^2=-kr(t)
と
d^2s(t)/dt^2=-s(t)
が同値になるそうなのですがどうしてそうなるのかがわかりません
よければ詳しく解説していただけると助かります

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/23 00:53

＞s(t)=r((√m/√k)t)と定めると

こうすれば
　x = (√m/√k)t
とおけば
　dt/dt = √m/√k
です。

r((√m/√k)t) = r(x) ですから
　s(t) = r(x)
ということです。

従って、
　ds/dt = (dr/dx)(dx/dt) = (√m/√k)(dr/dx)
　d²s/dt² = d(ds/dt)/dt
　　　　　= d[(√m/√k)(dr/dx)]/dt = (√m/√k)d(dr/dx)/dt
　　　　　= (√m/√k)[d(dr/dx)/dx](dx/dt)
　　　　　= (√m/√k)²d²r/dx²
　　　　　= (m/k)d²r/dx²　　　　①

ということになります。
ここまではよろしいですか？
いわゆる「合成関数の微分」「関数の関数の微分」です。

この上で、
　d²s/dt² = -s(t)　　　　　②
という微分方程式がある場合には、①を使えば左辺は
　d²s/dt² = (m/k)d²r/dx²
右辺は、そもそもの定義通り
　s(t) = r(x)
ですから、②は
　(m/k)d²r/dx² = -r(x)
と書け、両辺に k をかければ
　md²r/dx² = -kr(x)　　　　　③
となります。
変数の記号は何で書いてもよいので、③の変数を x でなく t と書けば
　md²r/dt² = -kr(t)
となります。

この回答へのお礼

ばっちり理解できました
ありがとうございます！

お礼日時：2020/12/23 15:29