複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が n→∞でαに収束するとき、 lim[n→∞](1+

Question

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が
n→∞でαに収束するとき、
lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^α
となることの証明を教えて下さい。

endlessriver · Accepted Answer

１．定義　e^z=Σ[k=0,∞] z^k/k!・・・・① これは収束するので、コーシー列の性質から　∀ε>0, ∃n₀>0, n>n₀ → Σ[k=n₀+1,n] z^k/k! < ε/3 すなわち　∀ε>0, ∃n₀>0 → Σ[k=n₀+1,∞] z^k/k! ≦ ε/3・・・・② 　fn(z)=(1+z/n)ⁿ　, a[n] → a とする。２．　fn(z) → e^z を証明（解析入門Ⅰ、杉浦）・・・・・③ 　fn(z)=Σ[k=0,n] nCk (z/n)^k ここで　u[n,k]=nCk (z/n)^k とおくと　fn(z)=Σ[k=0,n] u[n,k] であり　u[n,k]=(z^k/k!)Π[m=1,k-1] (1-m/n) ・・・・・・④ また　|u[n,k]|=(|z|^k/k!)Π[m=1,k-1] |1-m/n| 　　　　　≦|z|^k/k! すると　|fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|=|Σ[k=n₀+1,n] u(n,k)| 　　　　　≦Σ[k=n₀+1,n] |u[n,k]|≦Σ[k=n₀+1,n] |z|^k/k! 　　　　　<ε/3・・・・・・⑤ ここで、②を使った。 ④において、n→∞とすれば (1-m/n) → 1 なので　u[n,k] → z^k/k! となる。すると、　∀ε>0, ∃n₁>0, n>n₁ → |u[n,k]-z^k/k!| < ε/(3n₀) 　　　　 → Σ[k=0,n₀] |u[n,k]-z^k/k!| < ε/3・・・・・・⑥ 以上まとめると、n>max{n₀,n₁} とすれば　|fn(z)-Σ[k=0,∞] z^k/k!| 　　≦|fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|+|Σ[k=0,n₀] u[n,k]-Σ[k=0,n₀] z^k/k!| 　　　+|Σ[k=0,n₀] z^k/k!-Σ[k=0,∞] z^k/k!| 　　　=|fn(z)-Σ[k=0,n₀] u[n,k]|+Σ[k=0,n₀] |u[n,k]- z^k/k!| 　　　　+|Σ[k=n₀+1,∞] z^k/k!|<ε　（②⑤⑥から） ①から　|fn(z)-e^z|<ε・・・・・⑦ したがって、③が証明された。３．　a[n] → aのとき　∀ε>0, ∃n₂>0, n>n₂ → |fn(a[n]) - fn(a)|<ε・・・・⑧ を証明する。 a[n]は収束するので　|a[n]|≦b である。 max{a,b}を新たに bと置く。すると　|1+a[n]/n|≦1+|a[n]/n|≦1+b/n 　|1+a/n|≦1+b/n 　|fn(a[n]) - fn(a)|=|(1+a[n]/n)ⁿ-(1+a/n)ⁿ| 　　=(|a[n]-a|/n) |(1+a[n]/n)ⁿ⁻¹+(1+a[n]/n)ⁿ⁻²(1+a/n)+ 　　　　・・・+(1+a[n]/n)(1+a/n)ⁿ⁻²+(1+a[n]/n)ⁿ⁻¹| 　　　≦(ε/n)n(1+b/n)ⁿ⁻¹ ここで　(1+b/n)ⁿ⁻¹ → e^b だから、n>n₂のとき　(1+b/n)ⁿ⁻¹ < 2e^b とできる。すると　|a[n]-a|< ε/(2e^b) とできるので　|fn(a[n]) - fn(a)|<ε となり、⑧が証明された。４． ⑦⑧から　|fn(a[n])-e^a|≦|fn(a[n])-fn(a)|+|fn(a)-e^a|≦2ε よって　lim[n→∞](1+a[n]/n)^n=e^a

ありものがたり · Answer

n/a[n] = x と置くと、
a[n] が有界であることから n→∞ のとき x→±∞ (正負は α の正負による)。
よって、n→∞ のとき
(1+a[n]/n)^n = (1+1/x)^(x a[n])
　　　　　　= ( (1+1/x)^x )^a[n]
　　　　　　→ e^α.

ありものがたり · Answer

αが実数か虚数かよりも、
αが0じゃないかどうかのほうが重要だなあ...

ありものがたり · Answer

どこがどう間違ってるのか、指摘してごらん。(ヒントは No.2)
人を煽るのは、それができるようになってから。
頑張んなさい。

ありものがたり · Answer

←No.3
今回は、はぐらかして煽り続けるのでなく、
疑問点が端的に言えたね。改善が見られるな。

x が複素変数でも、
(1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] という変形はできるし、
lim[x→∞] (1+1/x)^x = e だから、No.1 で特に問題ない。

lim[x→∞] (1+1/x)^x = lim[h→0] (1+h)^(1/h)　：h=1/x 
　　　　　　　　　  = lim[h→0] exp log (1+h)^(1/h)
　　　　　　　　　  = lim[h→0] exp (1/h)log (1+h)
　　　　　　　　　  = exp lim[h→0] (1/h)log (1+h)
　　　　　　　　　  = exp lim[h→0] (1/h){ log (1+h) - log(1+0) }　　　　　　　　　　　　　　  = exp log’(1)
　　　　　　　　　  = exp １
　　　　　　　　　  = e.

実変数 x に対して lim[x→-∞] (1+1/x)^x を計算したときも、
こんな話は出てきたろう？

ありものがたり · Answer

＞ その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。
＞ 教科書で指数法則を勉強し直して下さい。

例によって舌足らずだが、「その変形」というのは
(1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] のことかな？

n が自然数なので、複素範囲でもその変形に問題は無い。

複素羃乗は、x^y = e^(y log x) で定義されるが、
複素 log が多価性を持つために y が整数でない場合には
x^y の値は一意には決まらず、枝の指定が必要になる。
これをエンガチョに思って、複素指数対数の計算を全て
敬遠してしまう怠け者は少なくないが...

(1 + a[n]/n)^n = exp{ n log(1 + a[n]/n) }
　　　　　　　 = exp{ n { Log(1 + a[n]/n) + 2πik } }
　　　　　　　 = exp{ (n・a[n]/a[n]) Log(1 + a[n]/n) + n・2πik }
　　　　　　　 = exp{ a[n] Log(1 + a[n]/n)^(n/a[n]) }・exp{ n・2πik }
　　　　　　　 = { (1 + a[n]/n)^(n/a[n]) }^a[n]・1
　　　　　　　 = { (1 + 1/x)^x }^a[n]
ただし、
log は複素多価の対数、Log はそのひとつの枝、
ｋ は任意の整数、x = n/a[n]。

n・2πik が 2πi の整数倍であるため、
任意の整数 k ついて exp{ n・2πik } = 1 となり、
右辺に多価性は生じない。よって、
(1 + a[n]/n)^n = { (1 + 1/x)^x }^a[n] でよい。

「複素数では指数法則は成立しない」を、ただ標語のように
覚えていたのでは、駄目だ。

ありものがたり · Answer

ダウトも何も、
私が問題点は (1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] だと指摘したのではなく、
君が「その変形」がどの変形かを明らかにしないから、推測しただけだよ。
いつものはぐらかしかただな。しょうもない。
そこは「ダウト」ではなく、「ハズレ」が正しい。何も嘘はついてないから。

＞ いまは
＞ ((1+1/x)^x)^a[n]=((1+1/x)^(x a[n])
＞ が成り立つかどうかという話なのだから、

そいつは初耳だが、
No.6 で (1+a[n]/n)^n = ( (1+1/x)^x )^a[n] が成り立つ理由を
既に説明しているから、
No.1 の計算の説明は、それで十分なのでは？

syotao · Answer

複素関数の性質を使う：
複素対数関数の1価の枝を実数ｘ＞0で実数logｘになるようにとり
それをLogであらわす。すると複素平面上|ｚ|＜1で
(1+ｚ)^nとｅ^(ｎLog(1＋ｚ))は正則でｚ＝ｘ、0＜ｘ＜1では
両者は等しいから一致の定理より|ｚ|＜1で
(1+ｚ)^n＝ｅ^(ｎLog(1＋ｚ))　。
さて
a[n]は収束だから有界で、ある番号からさきのｎについて
|a[n]/ｎ|＜1と考えてよいから、このようなｎについてだけ考えると
上式より
(1+a[n]/n)^n＝ｅ^(ｎLog(1＋a[n]/n))
右辺のｅの指数部分をLogのマクローリン展開を使って展開して
整理すると
ｎLog(1＋a[n]/n)
＝a[n]{1－(1/2)ｗ＋(1/3)ｗ²－(1/4)ｗ³＋・・・｝ただしｗ＝a[n]/n
となりしたがってｎ→∞のとき
a[n]→α、ｗ→0、これとべき級数の連続性から
ｅの指数部分→α
ゆえに表題の結論が出ます。

syotao · Answer

1－(1/2)ｗ＋(1/3)ｗ²－(1/4)ｗ³＋・・・は収束半径1のべき級数
つまり複素平面上|ｗ|＜1内で収束するべき級数です。
だからべき級数に関する定理により同じ領域内でｗの連続関数です。
したがってｗ→0でこの級数は
1－(1/2)0＋(1/3)0²－(1/4)0³＋・・・＝1二収束します。

endlessriver · Answer

a,bが整数でない場合、
　(z^a)^b=z^(ab)
とはできません。

主値を使う場合も、うまく説明できませんが違和感があり、可能かどうか
私には判断できません。

そのような、不安なしで議論しました。

複素数の数列{a[n]}(n=1,2,3,…)が n→∞でαに収束するとき、 lim[n→∞](1+

n/a[n] = x と置くと、

αが実数か虚数かよりも、

どこがどう間違ってるのか、指摘してごらん。

１．

←No.3

＞ その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。

ダウトも何も、

複素関数の性質を使う：

1－(1/2)ｗ＋(1/3)ｗ²－(1/4)ｗ³＋・・・は収束半径1のべき級数

a,bが整数でない場合、

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＞その変形が問題ないのはあなたの頭の中だけでの話です。