数IIの問題で下から3行目から理解できません。分かる方いましたら教えてください。

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質問者：。ばやし。
質問日時：2018/10/24 20:31
回答数：2件

数IIの問題で下から3行目から理解できません。

分かる方いましたら教えてください。

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No.2ベストアンサー

回答者： masterkoto
回答日時：2018/10/25 13:30

下から4行目=Σ[K=0～n]{nCk/(k+1)}・{1/2^(k+1)}

=Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・｛nCk/(k+1)｝←←←1/2^(k+1)=(1/2)^(k+1)
=Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・｛(n+1)・nCk/(n+1)(k+1)｝・・・①←←←分母分子にn+1倍して
ここでnCk=n!/k!(n-k)!であるから
(n+1)・nCk/(n+1)(k+1)={(n+1)/(n+1)(k+1)}{n!/k!(n-k)!}
={(n+1)n!/(n+1)(k+1)k!(n-k)!}
=(n+1)!/(n+1)(k+1)!(n-k)!←←←(n+1)n!＝(n+1)n(n-1)・・・1=(n+1)!
=n+1Ck+1/(n+1)←←←nCk=n!/k!(n-k)!であるからnをn+1,ｋをk+1に置き換えれば
　　　　　　　　　　　　n+1Ck+1=(n+1)!/(k+1)!{(n+1)-(k+1)}!=(n+1)!/(k+1)!(n-k)!
　　　　　　　　　　　　⇔(n+1)!/(k+1)!(n-k)!=n+1Ck+1
これを用いると①の続きは
Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・｛(n+1)・nCk/(n+1)(k+1)｝
=Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・｛n+1Ck+1/(n+1)｝
=画像3行目（・1^n-kはあってもなくても同じ。あったほうが分かりやすいが・1^n-kが省略されていると発想するのはなかなか難しい）

=1/(n+1)Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・(n+1Ck+1)・・・②←←←kの含まれない項はΣの外に出せる
ここで、Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・(n+1Ck+1)が二項定理を（二項展開）を連想させるので調べてみる

Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・(n+1Ck+1)=(1/2)¹(n+1C1)+(1/2)²(n+1C2)+(1/2)³(n+1C3)＋
・・・+(1/2)^(n+1)(n+1Cn+1)→③
一方、(1/2+a)^n+1=(n+1C0)(1/2)⁰a^n+(n+1C1)(1/2)¹a^(n-1)+(n+1c2)(1/2)²a^(n-2)+(n+1C3)(1/2)³a^(n-3)+・・・+(n+1Cn+1)(1/2)^n・a⁰→④
なのでa=1としてみると④と③はほぼ同じ形であることに気が付く
④をa=1として
(1/2+1)^n+1=(n+1C0)(1･2)⁰+(n+1C1)(1/2)¹+(n+1c2)(1/2)²+(n+1C3)(1/2)³+・・・+(n+1Cn+1)(1/2)^n+1
=(n+1C0)(1/2)⁰+Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・(n+1Ck+1)
⇔Σ[K=0～n](1/2)^(k+1)・(n+1Ck+1)=(1/2+1)^n+1-(n+1C0)(1/2)⁰
これをふまえて
②の続き=1/(n+1){(1/2+1)^n+1-(n+1C0)(1/2)⁰}←←←・1^n+1はあってもなくても同じ
=1/(n+1)(3/2)^n+1-(n+1Cn+1)・１}←←←n+1C0＝n+1Cn+1=1
=画像最終行

となります。