勾配の計算について教えてください。

スカラー場が
　　f(x,y) = x^2 + y^2
で与えられているときの勾配∇fは
　　∇f = (2x, 2y)
なので
　　|∇f| = 2√(x^2+y^2) ･････(1)

　一方 f の全微分は
　　df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
　　 = (∂f/∂x, ∂f/∂y)(dx, dy)
なので r↑= (x, y) とすると
　　df = ∇f･dr↑= |∇f||dr↑|cosθ
　dr↑の向きが∇fと等しいときは
　　df = |∇f||dr↑|
　　∴|∇f| = df/|dr↑|･････(2)

　(2)から(1)の結果を出せますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/10 23:12

意味不明ですが。

rをパラメータt表示すると
　r(t)=<x(t),y(t)>
　dr/dt=<dx/dt,dy/dt>

　df(x(t),y(t))/dt=(∂f/∂x)dx/dt + (∂f/∂y)dy/dt
=<∂f/∂x, ∂f/∂y>・<dx/dt, dy/dt>

∇fとdrの方向が一致するときは
　∇f=dr/dt=<dx/dt, dy/dt>
に選べる。

すると
　|dr/dt|=|∇f|
　df/dt=∇f・∇f=|∇f|²

　df/|dr|=(df/dt)/|dr/dt|=|∇f|=√{(∂f/∂x)² + (∂f/∂y)²}

この回答へのお礼

ありがとうございました。助かりました。

お礼日時：2021/09/11 03:03