微分の表し方について質問です f(x,y)の点(a,b)におけるv↑方向の方向微分 (x(t),y(

微分の表し方について質問です

f(x,y)の点(a,b)におけるv↑方向の方向微分
(x(t),y(t))=(a,b)+tv↑とし
∂f/∂v↑=df(x(t),y(t))/dt |t=0と表されますが
これはdf(x(0),y(0))/dt と同じですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/02/20 10:00

違います。

＞これはdf(x(0),y(0))/dt と同じですか？

それだと「定数を微分する」ことになるので、結果は「0」です。
x(0), y(0) は、それぞれ「x(t), y(t) に t=0 を代入した値」の意味だと思いますので。

＞∂f/∂v↑=df(x(t),y(t))/dt |t=0

この右辺は、f(x, y) を t で微分して導関数を求め、その結果に「t=0 を代入する」という意味だと思います。

つまり「微分してから t=0 を代入するか」と「t=0 を代入してから微分するか」の順序が違いますので、結果も異なります。

なお、本や著者によって、式の書き方の定義や意味が異なる場合があるので、その本に書かれている「書き方」に従って解釈してください。
特に「偏微分」の場合には、「微分する変数」に対する「定数（一定）とみなす変数」を右側に「縦線」を引いて記載する著者もあるようですから。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/20 17:05

いいえ同じではありません

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/20 10:35

v↑ はfが含んでいないから、これで微分するのは変だよね。

v↑ = (c, d)
p↑ = (a, b)
x↑ = (x, y)として

方向微分 ∇v↑∂f(p↑) = lim[h⇒0]{f(p↑ + hv↑) - f(p↑))/h
= {(∂f(x↑)/∂x}c + {∂f(x↑)/∂y}d
= (∂f(x↑)/∂x, ∂f(x↑)/∂y)・v↑

∇v↑∂f(p↑) = ∂f(p↑)/∂x↑・v↑
=(∂f(x↑)/∂x, ∂f(x↑)/∂y)・v↑
= grad f(x↑)・v↑
と書くこともある。つまり勾配と方向ベクトルの内積が方向微分。

∇v とか ∂f(p↑)/∂x↑ とかの書き方は
物理屋の方言かも(^^;