f(x^2+y^2)をxで偏微分したいのですが、 f_x(x^2+y^2)と、f'(x^2+y^2)

f(x^2+y^2)をxで偏微分したいのですが、
f_x(x^2+y^2)と、f'(x^2+y^2)の違いってなんでしょうか？
正解は後者なのですが。。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/09/12 21:22

f_x(x^2+y^2) って、いったい何でしょう？

f_x とは、 f(x) を x で(偏)微分したもののこと。
( f(x) が 1 変数なので、偏微分でも常微分でも同じですが。 )
f_x(x^2+y^2) だと、 f(x) を x で微分したもの
の x に x^2+y^2 を代入したものを意味しそうです。
f_x(x^2+y^2) と ∂f(x^2+y^2)/∂x では、
微分すること と x^2+y^2 を代入することの順番が違います。

しかし、 x に x^2+y^2 を代入するってどういうことでしょう？
代入する式に代入される変数 x が入ってしまっているので、
「x に x^2+y^2 を代入する」という言葉は、意味をなしません。

その点、 f’ なら、変数名を明示していないので、安心です。
f’(x^2+y^2) は、適当に変数名を補って、
f(t) を t で微分したものに t = x^2+y^2 を代入したものとでも
f(u) を u で微分したものに u = x^2+y^2 を代入したものとでも
適当に解釈することができます。 これなら、式に意味ががる。

変数名に t を使うなら、 t = x^2+y^2 の下に
∂f(x^2+y^2)/∂x = ( df(t)/dt )( ∂t/∂x )
　　　　　　　　= f’(t) ・ ( ∂(x^2+y^2)/∂x )
　　　　　　　　= f’(x^2+y^2) ・ 2x
となります。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/09/12 18:45

fは一変数関数です。

f' はその変数での微分を意味します。

fx は関数が多変数関数としたとき、変数xで偏微分したものを言い
ます。したがって、この記号を使うときは
　f(x,y)
などの形式になっていないといけません。今回は１変数の形式です
から
　f'
の形になります。

たとえば、g(x,y)=f(x²+y²) と書けば、gx(x,y) は意味があります。

まとめると、今回は
　u=x²+y²
　z=f(u)=f(x²+y²)
とおと
　∂z/∂x=(df(u)/du)∂u/∂x=f'(u)2x=f'(x²+y²)2x
とかけます。

この回答へのお礼

あ〜なるほど！
なんとなく腑に落ちました。
ありがとうございます！

お礼日時：2021/09/12 18:48