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f(x^2+y^2)をxで偏微分したいのですが、
f_x(x^2+y^2)と、f'(x^2+y^2)の違いってなんでしょうか?
正解は後者なのですが。。

「f(x^2+y^2)をxで偏微分したいの」の質問画像

A 回答 (2件)

f_x(x^2+y^2) って、いったい何でしょう?


f_x とは、 f(x) を x で(偏)微分したもののこと。
( f(x) が 1 変数なので、偏微分でも常微分でも同じですが。 )
f_x(x^2+y^2) だと、 f(x) を x で微分したもの
の x に x^2+y^2 を代入したものを意味しそうです。
f_x(x^2+y^2) と ∂f(x^2+y^2)/∂x では、
微分すること と x^2+y^2 を代入することの順番が違います。

しかし、 x に x^2+y^2 を代入するってどういうことでしょう?
代入する式に代入される変数 x が入ってしまっているので、
「x に x^2+y^2 を代入する」という言葉は、意味をなしません。

その点、 f’ なら、変数名を明示していないので、安心です。
f’(x^2+y^2) は、適当に変数名を補って、
f(t) を t で微分したものに t = x^2+y^2 を代入したものとでも
f(u) を u で微分したものに u = x^2+y^2 を代入したものとでも
適当に解釈することができます。 これなら、式に意味ががる。

変数名に t を使うなら、 t = x^2+y^2 の下に
∂f(x^2+y^2)/∂x = ( df(t)/dt )( ∂t/∂x )
        = f’(t) ・ ( ∂(x^2+y^2)/∂x )
        = f’(x^2+y^2) ・ 2x
となります。
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fは一変数関数です。

f' はその変数での微分を意味します。

fx は関数が多変数関数としたとき、変数xで偏微分したものを言い
ます。したがって、この記号を使うときは
 f(x,y)
などの形式になっていないといけません。今回は1変数の形式です
から
 f'
の形になります。

たとえば、g(x,y)=f(x²+y²) と書けば、gx(x,y) は意味があります。

まとめると、今回は
 u=x²+y²
 z=f(u)=f(x²+y²)
とおと
 ∂z/∂x=(df(u)/du)∂u/∂x=f'(u)2x=f'(x²+y²)2x
とかけます。
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この回答へのお礼

あ〜なるほど!
なんとなく腑に落ちました。
ありがとうございます!

お礼日時:2021/09/12 18:48

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