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y=f(x)をx軸方向にp,y軸方向にq平行移動させる
移動前の関数y=f(x)上の点(a,b) 移動後の関数y=g(x)上の点(A,B)とする。

このとき移動後の関数はy-q=f(x-p)というのの証明で
a=A-p,b=B-qだからy=f(x)に代入して y-q=f(x-p)というのが分かりません。

多分変数x,yと定数がごっちゃになっているのと
b=f(a)と B-q=f(A-p)が同じだからy-q=f(x-p)が同じで y=g(x)ではなくy=f(x)のグラフだと思っちゃいます。

因みに別の証明で
B=b+qよりB=f(a)+qよりB=f(A-p)+q
なら納得しています。

上の証明を教えてください。

A 回答 (4件)

せっかく a,b,A,B を導入したのだから、 x,y を使うのは一旦やめたらいい。


点 (a,b) が 曲線 y = f(x) 上にあるのだから、 b = f(a),
点 (A,B) が 曲線 y = g(x) 上にあるのだから、 B = g(A).
平行移動は a + p = A, b + q = B.
これらの式から a, b を消去すると B - q = f(A - p). すなわち B = f(A - p) + q.

A,B の満たす式が B = f(A - p) + q なのだから、
点 (A,B) が描く図形の方程式は y = f(x - p) + q.
グラフの式を書くとき、
x座標を変数x, y座標を変数y で書く慣習があるからね。
(A,B) は、平行移動後の点だよね?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど。

お礼日時:2021/09/25 20:52

点(a,b) は y=f(x) 上の点なので、b=f(a)…①



a=A-p
b=B-q
を①に代入して、
B-q=f(A-p)…②

②は、y-q=f(x-p) という式に、x=A , y=B を代入した式です。
②が成り立つということは、
点(A,B) が y-q=f(x-p) 上の点であるということです。

点(A,B) は y=g(x) 上の点ですから、
y-q=f(x-p) ⇔ y=g(x)
ということになります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
納得できました。

お礼日時:2021/09/25 18:49

fをx軸方向にpだけ、y軸方向にqだけずらすのは


座標の原点をx軸方向に-p、y軸方向に-qずらすのと同じ。
この座標系の座標値をx', y'とすると
x、yとx'、y'が同じ点をあらわすなら

x'=x+p→ x=x'-p
y'=y+q→ y=y'-q

これをy=f(x)に代入すると
y'-q=f(x'-p)
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。それも納得できました。

お礼日時:2021/09/25 17:43

「グラフを移動する」と考えるのではなく「原点を移動する」と考える、


そして
「移動後の関数」の x, y はすでに「移動後の座標」であり、「移動後の座標から見て、移動前の関数がどうだったのかを記述している」
と考えてみてください。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その考えでも納得できますね。

お礼日時:2021/09/25 17:31

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