答えは2πなのですが、この計算をすると4πになってしまいます...式の立て方に問題があるのでしょうか

答えは2πなのですが、この計算をすると4πになってしまいます...式の立て方に問題があるのでしょうか?

No.4 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2021/10/14 10:04

それぞれの点(x,y)におけるzの取り得る幅をz(x,y)とするとその体積Vは

V=∫∫_D z(x,y)dxdy
となります。(３重積分ではなく２重積分です)
今回の場合ではz(x,y)=2-(x^2+y^2)となりますので求める体積は
V=∫∫_D {2-(x^2+y^2)}dxdy
となります。これを解いても答えは得られます。

ここから３重積分を用いて解を得る方法を考えます。
上で述べたことから２次元領域Dの面積Sを出すためにはどうすればよいでしょうか。
体積から面積を出す一番簡単な方法、それは高さを"1"に固定して体積を求めれば、それはそのまま面積となります。(高さが1の柱体の体積=底面積*1)
つまり
S=∫∫_D 1 dxdy
となります。
これを４次元柱体の体積にそのまま適用すれば
V=∫∫∫_D dxdydz
になるのです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。わざわざ3重積分にしなくてもよかったのですね。

お礼日時：2021/10/14 20:24

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/14 19:29

x^2+y^2≦z≦2

y^2≦z-x^2

4∫_{0～2}∫_{0～√z}∫_{0～√(z-x^2)}dydxdz
=4∫_{0～2}∫_{0～√z}√(z-x^2)dxdz
=4∫_{0～2}(zπ/4)dz
=π[z^2/2]_{0～2}
=2π

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。分かりやすかったです!

お礼日時：2021/10/14 21:04

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/13 19:56

体積ですから　1 dxdydz の積分です。

この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時：2021/10/13 20:18

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2021/10/13 18:01

半径2、高さ2の円錐を逆さにしたものになるんじゃないかな？

(z=0 to 2)∫πz²dz
=(z=0 to 2)π[z³/3
＝8π/3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。恐縮なのですが、この問題の答えは質問にある通り2πです。

お礼日時：2021/10/13 19:34

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/13 18:00

そうです。

4∫[0,2]dz∫[0,√(z-x²)]dy ∫[0,√z] dx =2π
です。

被積分関数は → 1


面積を求めるなら
z軸の断面の面積　π(√z)²=πz を0～2まで積分すれば簡単
∫[0,2] πzdz=２π

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なぜ被積分関数が1になるのか教えていただけませんか？

お礼日時：2021/10/13 19:32