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答えは2πなのですが、この計算をすると4πになってしまいます...式の立て方に問題があるのでしょうか?

「答えは2πなのですが、この計算をすると4」の質問画像

A 回答 (5件)

それぞれの点(x,y)におけるzの取り得る幅をz(x,y)とするとその体積Vは


V=∫∫_D z(x,y)dxdy
となります。(3重積分ではなく2重積分です)
今回の場合ではz(x,y)=2-(x^2+y^2)となりますので求める体積は
V=∫∫_D {2-(x^2+y^2)}dxdy
となります。これを解いても答えは得られます。

ここから3重積分を用いて解を得る方法を考えます。
上で述べたことから2次元領域Dの面積Sを出すためにはどうすればよいでしょうか。
体積から面積を出す一番簡単な方法、それは高さを"1"に固定して体積を求めれば、それはそのまま面積となります。(高さが1の柱体の体積=底面積*1)
つまり
S=∫∫_D 1 dxdy
となります。
これを4次元柱体の体積にそのまま適用すれば
V=∫∫∫_D dxdydz
になるのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。わざわざ3重積分にしなくてもよかったのですね。

お礼日時:2021/10/14 20:24

x^2+y^2≦z≦2


y^2≦z-x^2

4∫_{0~2}∫_{0~√z}∫_{0~√(z-x^2)}dydxdz
=4∫_{0~2}∫_{0~√z}√(z-x^2)dxdz
=4∫_{0~2}(zπ/4)dz
=π[z^2/2]_{0~2}
=2π
「答えは2πなのですが、この計算をすると4」の回答画像5
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。分かりやすかったです!

お礼日時:2021/10/14 21:04

体積ですから 1 dxdydz の積分です。

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この回答へのお礼

ありがとうございます!

お礼日時:2021/10/13 20:18

半径2、高さ2の円錐を逆さにしたものになるんじゃないかな?


(z=0 to 2)∫πz²dz
=(z=0 to 2)π[z³/3
=8π/3
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。恐縮なのですが、この問題の答えは質問にある通り2πです。

お礼日時:2021/10/13 19:34

そうです。



4∫[0,2]dz∫[0,√(z-x²)]dy ∫[0,√z] dx =2π
です。

被積分関数は → 1


面積を求めるなら
z軸の断面の面積 π(√z)²=πz を0~2まで積分すれば簡単
∫[0,2] πzdz=2π
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。なぜ被積分関数が1になるのか教えていただけませんか?

お礼日時:2021/10/13 19:32

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