数学の､指数関数、対数関数の範囲の常用対数についてわからないことがございます。次の条件を満たす自然数

数学の､指数関数、対数関数の範囲の常用対数についてわからないことがございます。次の条件を満たす自然数nの値を求めよ。ただし、log[2]=0.3010,log[3]=0.4771とする。

(1) 6^nが10桁の数となる。という問題で、
解答が、

(1) 6^nが10桁の数となるための条件は、
10^9≦6^n＜10^10 各辺の常用対数をとると、
9≦nlog[10]6＜10 …①
ここで、log[10]6=
log[10](2×3)=log[10]2+log[10]3
＝0.3010+0.4771=0.7781
よって、①から9≦0.7781n＜10
したがって、9/0.7781≦n＜10/0.7781
すなわち、11.56・・・≦n＜12.85・・・
この不等式を満たすnは、n＝12

わからないのは、6^nが10桁の数となるための条件のところで、真ん中が
自分の解答は10^9≦6^10＜10^10に対し
10^9≦6^n＜10^10となっていることです。
Nの整数部分がn桁であれば10^n－1≦N＜10^nと参考書に書いてあるので基本式に与式の6^nが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話ではあるのですが個人的にしっくりきません。

No.1 回答者： lon_donburi_dge 回答日時： 2021/10/15 12:45

質問者様の解答では

10^9≦6^10＜10^10
としているということでよろしいでしょうか？

そもそもnって求めるものですよね。

> 与式の6^nが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話

指数nに10を代入すればすむ話ではないのでは？
問題がちょっと違って、6のところが1だったら、
1を何回かけても1にしからなないから10桁を満たすnはないし、
6のところが既に10桁になっている数字だったら
nは1で条件を満たさない？

6だったらそのnはいくつになるの？というのを求めているのだと
思うのだけど。

質問者様が書いている内容を勘違いしていたらすみません。

この回答へのお礼

参考になりました。感謝致します。

お礼日時：2021/10/16 20:12

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/10/15 13:17

>>6ⁿが10桁の数だから指数nに10を代入すればすむ話で・・・

そこが違うでしょ？

n=1なら6¹：1桁
n=2なら6²：2桁
n=3なら6³：3桁
n=4なら6⁴：4桁
n=5なら6⁵：4桁　→ 5桁じゃ無い
・
・
n=10なら6¹⁰：8桁　→ 10桁じゃ無い

この回答へのお礼

勉強になりました。感謝致します。

お礼日時：2021/10/16 20:13

No.3 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/10/15 19:01

問題のｎと参考書のｎの使用のされ方は異なりますので、

文字を換えてみると良いと思います。

参考書の文字を次のように換えます。
Ｍの整数部分がｍ桁であれば 10^(m-1)≦Ｍ<10^m

これより、
6^n が10桁であれば 10^(10-1)≦6^n<10^10

この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時：2021/10/16 20:14

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/15 19:42

普通に考えればいいんですよ？

x が 10 桁の数となるための条件は、10^9 ≦ x ＜10^10。
6^n が 10 桁の数となるための条件なら、 10^9 ≦ 6^n ＜10^10。

なにがしっくりこないのか、
6^10 という数値はいったいどこから出てきたのか、
自分の言葉で説明してみてください。

この回答へのお礼

参考になりました。

お礼日時：2021/10/16 20:13

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/10/16 10:22

Nの整数部分がn桁であれば10^n-1≦N<10^n

で

n=10
N=6^n=6^10
とすると

6^10の整数部分が10桁であれば10^10-1≦6^10<10^10

となるが

6^2=36
6^4=36^2=1296
6^5=1296*6=7776
6^10=7776^2=60466176　は8桁だから

6^10の整数部分は10桁ではないから10^10-1≦6^10<10^10ではない

この回答へのお礼

勉強になりました。感謝致します。

お礼日時：2021/10/16 20:14