このグラフをフーリエ級数で示したいのですが、どうやっても答えにたどり着けません。奇関数ということから

このグラフをフーリエ級数で示したいのですが、どうやっても答えにたどり着けません。奇関数ということからa0=0,an=0を使ったらダメですか?

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/13 23:25

使ってよいです。

１．
　T=2π/w

　bn=(2/T)∫[0,T] F(t)sin(2nπ/T)t dt
　　=(2/T) { ∫[0,T/4] F(t)sin(2nπ/T)t dt
　　　　　　　+∫[T/4,3T/4] F(t)sin(2nπ/T)t dt
　　　　　　　+∫[3T/4,T] F(t)sin(2nπ/T)t dt }

　F(t)=P (t=0～T/4), 0 (T/4～3T/4) , -P (3T/4～T)
なので
　bn=(2/T){ P∫[0,T/4] sin(2nπ/T)t dt-P∫[3T/4,T] sin(2nπ/T)t dt }
　　=(2P/T){ (T/2nπ)[-cos(2nπ/T)t][ T/4,0]
　　　　　　　　- (T/2nπ)[-cos(2nπ/T)t][ T,3T/4] }
　　=(2P/T)(T/2nπ){ [-cos(2nπ/T)t][ T/4,0]
　　　　　　　　- [-cos(2nπ/T)t][ T,3T/4] }

　　=(2P/T)(T/2nπ){ (1-cos(nπ/2)) - (cos(3nπ/2)-cos(2nπ)) }
　　=(P/nπ){ 2-cos(nπ/2) - cos(3nπ/2) }

ここで
　cos(3nπ/2)=cos(nπ/2+nπ)=cos(nπ/2)cos(nπ)-sin(nπ/2)sin(nπ)
　　　　　　=cos(nπ/2)cos(nπ)
だから
　bn=(P/nπ){ 2-cos(nπ/2)(1+cos(nπ)) }
　　=(2P/nπ){ 1-cos(nπ/2)cos²(nπ/2) }
　　=(2P/nπ){ 1-cos³(nπ/2) }

こりとき、1-cos³(nπ/2)　は
　n=1,2,3,4,・・・　に対して、1,2,1,0,・・・　と繰り返します。

この数列は計算により色々出て来て
　1-cos(nπ)cos(nπ/2)
というのもある。


２．
また、奇関数だから
積分範囲を -T～Tとして
　bn=(2/T)∫[-T,T] F(t)sin(2nπ/T)t dt
　　=(2/T) 2∫[0,T] F(t)sin(2nπ/T)t dt
　　=(4P/T) ∫[0,T/4] sin(2nπ/T)t dt
　　=(4P/T)(T/2nπ) [-cos(2nπ/T)t][T/4,0]
　　=(2P/nπ){1-cos(nπ/2)}
　　=(4P/nπ)sin²(nπ/4)

としたほうが、計算は楽。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました！
困っていたのでとても助かりました！

お礼日時：2021/11/14 23:19