これの例を教えてください。

反例がおもいついてしまいましたが、理解が浅く間違えてるようです。

線形写像 f : V → W について次が成り立つ.
f は単射 ⇔ Kerf = {0V }.

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/19 19:40

線形写像 f:V→W に対して、

次元定理 dim Span f + dim Ker f = dim V が成り立つ。
f が単射とは、V から Span f への全単射 だということだから、
単射 ⇔ dim V = dim Span f.
次元定理と合わせると、単射 ⇔ dim Ker f = 0.
dim Ker f = 0 ⇔ Ker f = { 0 } により、質問の定理は成り立つ。

線形写像は、点を点へ移す写像であると同時に
部分線形空間を部分線形空間へ移す写像であると捉えておくと、
今回の定理はほとんど自明。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/19 17:05

線形写像f:V→W

fは単射とする
f(0)=0だから
0∈kerfだから
{0}⊂kerf
x∈kerfとする
f(x)=0=f(0)
fは単射だから
x=0だから
x∈{0}だから
kerf⊂{0}
↓これと{0}⊂kerfから
∴
kerf={0}
fは単射→kerf={0}が成り立つ

kerf={0}とする
x∈V,a∈V,f(x)=f(a)とする
f(x-a)=f(x)-f(a)=0だから
x-a∈kerf={0}だから
x-a=0だから
x=aだから
∴
fは単射
kerf={0}→fは単射が成り立つ
∴
fは単射←→kerf={0}が成り立つ