『Sの条件』

集合についての疑問です。
「S∈Sなる集合Sは集合論において定義可能なのか？」（つまり、Sは自分を要素とする集合）
例えば、ある性質aを満たす複数の集合があるとして、それら集合の全てを要素とする集合をAとすると、Aもまた性質aを満たす集合だったとき、A∈Aとしてよいのか、といった場合です。
（ただし、性質aは、自分を要素として含まない集合、といった矛盾をきたすことのない性質とする）
素人考えだと、S∈Sなる集合は、{{{…}}}と表現される無限のものとなり、定義できないように思えてしまうのですが。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/24 17:50

「行ってはいけない」とはまた、数学と馴染みの悪い考え方ですね。

A∈A が成立するなら、Aは単に「集合ではない」のです。

０で割るのも同様ですよ。0で割るのは勝手だけれど、
その計算には単に値が定義されていないのです。
「割ってはいけない」のではなく、「割っても無駄」なだけです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2021/11/25 10:17

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2021/11/22 21:41

まずは黎明期の集合論を襲った大ピンチ「ラッセルのパラドックス」を勉強なさるといいでしょう。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/11/22 13:43

S∈S を満たすような S は、現代の集合論では「集合」とは呼びません。

興味があれば、「正則性公理」について google してみてください。

この回答へのお礼

御応答、ありがとうございます。では、ある性質aを持つ集合の全てを元とする集合Aを考えると、Aもまた性質aを持つ集合となってしまうという場合、そのような操作というか処理というか、は行ってはいけない（ちょうど０で割ってはいけないというのと同じように）とするか、Aは集合ではないと考えるのでしょうか？

お礼日時：2021/11/24 11:23