指数対数について

（3）ですがこれを証明するために左辺にx＝0を代入したもの>0を示さなくていいんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/11/26 23:45

いいんです。

x²+Ax+B=0 の２つの異なる負の解を持つ条件を調べるとき、x=0
とすると、B=0 となり、何の意味もありません。

log_a(2)=1/log_2(a) だから、与式は
　x²+x/log_2(a)+2log_2(a)=0
ここで
　A=log_2(a)
とおくと、この根は
　x={ -1/A±√(1/A²-8A) }/2
となる。ここで、a≠1 だから、A≠0 となる。

まず、A<0 のとき、(1/A²-8A)>０ だから、実数解があり
　√(1/A²-8A) > 1/A
となり、少なくとも一方の根は負とならない。したがって、A>0
つまり
　log_a(2)>0 → a>1
となる。

つぎに、A>0 のとき、根号内が正でないと２つの解とならないから
　1/A²-8A>0 → A³<1/8 → A<1/2 → a<2^(1/2)=√2
また、このとき　√(1/A²-8A)<1/A なので、２つの解とも負。

以上をまとめると
　1<a<√2

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2021/11/27 09:19