重積分の問題です。

下の問題について教えていただきたいです。（途中式なども教えていただけると嬉しいです。）
領域D= {(x,y) |0 ≤y−x≤1,0 ≤x+ y≤1}上の重積分
∫∫D　ydxdy
を次の２通りの方法で求めよ。
(i) 逐次積分， (ii) 座標変換を行ってDを別の領域に移して

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/12 19:38

D={(x,y)|0≦y-x≦1,0≦x+y≦1}

(i)
-y≦x≦y
y-1≦x≦1-y

∬_{D}ydxdy
=∫_{0～1/2}∫_{-y～y}ydxdy+∫_{1/2～1}∫_{y-1～1-y}ydxdy
=∫_{0～1/2}y∫_{-y～y}dxdy+∫_{1/2～1}y∫_{y-1～1-y}dxdy
=∫_{0～1/2}y[x]_{-y～y}dy+∫_{1/2～1}y[x]_{y-1～1-y}dy
=∫_{0～1/2}(2y^2)dy+∫_{1/2～1}2y(1-y)dy
=2∫_{0～1/2}(y^2)dy+∫_{1/2～1}(2y-2y^2)dy
=(2/3)[y^3]_{0～1/2}+[y^2-2y^3/3]_{1/2～1}
=1/12+1-2/3-1/4+1/12
=1/6+2/6-1/4
=1/2-1/4
=1/4

(ii)
u=x+y
v=y-x

(u)=(1.,1)(x)
(v).(-1,1)(y)

(1/2,-1/2)(u)=(x)
(1/2,1/2.)(v).(y)

x=u/2-v/2
y=u/2+v/2

J
=
|1/2,-1/2|
|1/2,1/2.|
=
1/2

∬_{D}ydxdy
=∫_{0～1}{∫_{0～1}(u/2+v/2)|J|du}dv
=(1/4)∫_{0～1}{∫_{0～1}(u+v)du}dv
=(1/4)∫_{0～1}{[u^2/2+vu]_{0～1}dv
=(1/4)∫_{0～1}(1/2+v)dv
=(1/4)[v/2+v^2/2]_{0～1}
=1/4