線形代数学の問題です。 次のベクトルの列について，一次独立であるか否かを判定し，一次従属である場合は

線形代数学の問題です。
次のベクトルの列について，一次独立であるか否かを判定し，一次従属である場合は，その非自明な一次関係をひ とつ求めよ.また，これらの張る R^4 の線形部分空間の次元を求めよ.

a1＝(1 3 0 1)、a2＝(1 2 1 1)、a3＝(2 4 1 0)、a4＝(3 7 0 -1)

この問題の解き方が分からないので、わかる方教えて欲しいです！
よろしくお願いします！
テストが近くて焦っています。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/12 20:54

a1=(1,3,0,1)

a2=(1,2,1,1)
a3=(2,4,1,0)
a4=(3,7,0,-1)

xa1+ya2+za3+wa4=0…(0)
とする
x(1,3,0,1)+y(1,2,1,1)+z(2,4,1,0)+w(3,7,0,-1)=0
(x+y+2z+3w,3x+2y+4z+7w,y+z,x+y-w)=0

x+y+2z+3w=0…(1)
3x+2y+4z+7w=0…(2)
y+z=0…(3)
x+y-w=0…(4)
↓(1)-(4)から
2z+4w=0
↓両辺を2で割ると
z+2w=0…(5)
↓両辺に5をかけると
5z+10w=0…(6)

(4)*3から
3x+3y-3w=0
↓これから(2)を引くと
y-4z-10w=0
↓これに(6)を加えると
y+z=0
↓これから(5)を引くと
y-2w=0
↓両辺に2wを加えると
y=2w…(7)
↓これを(4)に代入すると
x+2w-w=0
x+w=0
↓両辺に-xを加えると
w=-x…(8)
↓これを(7)に代入すると
y=-2x…(9)
↓これを(3)に代入すると
-2x+z=0
↓両辺に2xを加えると
z=2x
↓これと(8),(9)を(0)に代入すると
xa1-2xa2+2xa3-xa4=0
↓x=1とすると
∴1次従属
a1-2a2+2a3-a4=0
a1+2a3=2a2+a4

3次元