代数学の問題です。

下の問題の答えを教えていただきたいです。

自然数, 整数, 有理数, 実数, 複素数の全体の集合をそれぞれN, Z, Q, R, Cと
する. + と・はそれぞれの集合上の通常の加法と乗法を表すものとする.
集合A から集合B への写像の全体の集合をFunc(A; B) で表し, 集合A からA へ
の全単射の全体の集合をS(A) で表す. ◦は写像の合成による演算を表すものとする

1~10の各構造を(ア)半群ではない、(イ) 半群だがモノイドではない、(ウ) モノイドだが群ではない (エ) 群だがアーベル群ではない、(オ) アーベル群である から選べ。

(1) (N,・)
(2) (Z,・)
(3) (Q,・)
(4) (R,・)
(5) (Z\{0},・ )
(6) (Q\{0},・ )
(7) (R\{0},・ )
(8) 2 つの文字x, y からなる集合X = {x, y}について, (S(X), ◦)
(9) 3 つの文字a,b,c からなる集合A = {a, b,c}について, (S(A),◦)
(10) 3 つの文字a, b,c からなる集合A = {a,b,c}について, (Func(A,A), ◦)

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/12/18 16:44

(1)(N,・)は単位元1のモノイドだが2の逆元が無いから群ではない

(2)(Z,・)は単位元1のモノイドだが0の逆元が無いから群ではない
(3)(Q,・)は単位元1のモノイドだが0の逆元が無いから群ではない
(4)(R,・)は単位元1のモノイドだが0の逆元が無いから群ではない
(5)(Z-{0},・)は単位元1のモノイドだが2の逆元が無いから群ではない
(6)(Q-{0},・)はアーベル群である
(7)(R-{0},・)はアーベル群である

(8)
(S(X),◦)～S_2={1,(1,2)}
だから
(S(X),◦)は単位元1(恒等写像)のアーベル群である

(9)
(S(A),◦)～S_3={1,(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)}
だから
(S(A),◦)は単位元1(恒等写像)の群だが
(1,3)(1,2)=(1,2,3)≠(1,3,2)=(1,2)(1,3)
だからアーベル群ではない

(10)
(Func(A,A),◦)は単位元1(恒等写像)のモノイドだが
{(a→a),(b→a),(c→a)}の逆写像が無いから群ではない