数学得意な方！等比数列について教えてください！

月利1%（複利）の30年払いで1000万円を借り、月々102861円ずつ返済していくことになりました。15年間払ったところで、残りを一括返済することにしました。一括返済する金額はどのくらいかという問題です。

色々と計算してみたのですがどうしても答えがでてきません。数学が得意な方、答えがわかると言う方どうかご協力お願い致します。

No.4 回答者： wellow 回答日時： 2021/12/20 20:35

＃２

良かった。合ってた＞＃３の方

スプレッドシート、つぶれて読めないでしょうから、以下に手順を。
1行目はタイトル。A1は月数、B1は残金、C1は返却額とか書けばいい。

A列（月数）は0から1つずつ増える。15年だから0から180まであればいい。A2を0とすれば、A3はA2+1、A4はA3+1という式。

Ｂ列（残金）は、最初は10,000,000になる。借りたばかりで返してないから。次の月は、残金+(残金＊1%)-102,861。B2は10,000,000、B3はB2+B2*1%-102,861。B4はB3+B2*1%-102,861。以下同じ。

Ｃ列（返却額）。最初の月（0ヶ月目）は返していないので、空白。
それ以降は前月の残金から当月の残金を引いた値。C3はB2-B3、C4はB3-B4で以下同じ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2021/12/19 18:33

ローン計算の基本です。

実際の計算は「手計算」では大変なので、「エクセル」などの表計算ソフトを使うとよいです。各セルに同じ関数を「コピー」していくだけでできますから。
なお、下記の最終の数値計算も関数電卓がないと無理です。

借入額 S、月利 r の複利、毎月一定額 H を返済する場合の計算です。

1ヶ月目：

(1a) 月初の元金（借入額全額）:S

(1b) 月末の借金は、利子が加わって：(1 + r)S

(1c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
　S1 = (1 + r)S - H

２ヶ月目は

(2a) 月初の借入残高は、S1 = (1 + r)S - H

(2b) 月末の借金は、利子が加わって：
　(1 + r){(1 + r)S - H}
= (1 + r)^2･S - (1 + r)H

(2c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
　S2 = (1 + r)^2･S - (1 + r)H - H
　　= (1 + r)^2･S - [1 + (1 + r)]H

３ヶ月目は

(3a) 月初の借入残高は、S2 = (1 + r)^2･S - [1 + (1 + r)]H

(3b) 月末の借金は、利子が加わって：
　(1 + r){(1 + r)^2･S - [1 + (1 + r)]H}
= (1 + r)^3･S - [(1 + r) + (1 + r)^2]H

(3c) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
　S3 = (1 + r)^3･S - [(1 + r) + (1 + r)^2]H - H
　　= (1 + r)^3･S - [1 + (1 + r) + (1 + r)^2]H

これを延々と繰り返します。
すると、ｋヶ月目（k ≧ 2）は

(ka) 月初の借入残高は、S(k-1) = (1 + r)^(k - 1)･S - [1 + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^(k - 1)]H

(kb) 月末の借金は、利子が加わって：
　(1 + r){(1 + r)^(k - 1)･S - [1 + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^(k - 1)]H}
= (1 + r)^k･S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^k]H　　※

(kc) ここから H 返済するので、月末の借入残高は
　Sk = (1 + r)^k･S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^k]H - H
　　= (1 + r)^k･S - [1 + (1 + r) + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^k]H


ここで、n ヶ月目に一括返済する場合の返済額は、n ヶ月目の月末の借金残高（上記の※で k=n としたもの）ということになりますので、その額は

Pn = (1 + r)^n･S - [(1 + r) + (1 + r)^2 + ･･･ + (1 + r)^n]H　　　①

ということになります。

つまり、借入額 S に (1 + r)^n をかけたものから、返済額 H に「公比 (1 + r) の数列の合計」をかけたものを引けばよいことが分かります。

この第2項の「公比 (1 + r) の数列の合計」は、初項が(1 + r)、第ｎ項までの合計なので、公式より
　(1 + r) + ･･･ + (1 + r)^n = [(1 + r)^n - 1] / [(1 + r) - 1]
= [(1 + r)^n - 1] / r
ですから、①は

　Pn = (1 + r)^n･S - {[(1 + r)^n - 1] / r}H　　　　②

ということになります。

ここで、試しに毎月の返済額を試算してみます。
nヶ月で完済すれば、Pn=0 になるので、このとき②より

　(1 + r)^n･S = {[(1 + r)^n - 1] / r}H
→　H = S･r･(1 + r)^n / [(1 + r)^n - 1]　　　　③

で毎月の返済額が決まることになります。

あなたのローンの場合には、
　S = 10,000,000
　r = 0.01
　n = 360（月）
なので、③式から毎月の返済額は
　H = 10,000,000 * 0.01 * (1 + 0.01)^360 / [(1 + 0.01)^360 - 1]
　　= 102861.25･･･
　　≒ 102,861
になると思います。
あなたの書かれている毎月の返済額に一致しますね。


ということで、本題に戻って、15年の末（180ヶ月）で繰り上げ返済するときの返済額は、②式に
②の式に
　S = 1000万円 (=10,000,000)
　r = 0.01
　H = 102,861
　n = 180
を入力すれば
　P180 = (1 + 0.01)^180 * 10,000,000 - {[(1 + 0.01)^180 - 1] / 0.01}*102,861
　　　= 8,570,701.055
　　　≒ 8,570,701
ですね。
#1 さんの結果とも一致します。

返済期間30年の半分経っているのに、借入残高は14%しか減っていないことに愕然としますね。
月利 1% つまり単純計算で年利 12% で借金をしたら、毎月の返済のほとんどは「利息の返済」に消えていて、借金の元金はなかなか減らないことがよく分かります。
それは、#2 ③のグラフからもよく分かりますね。

ローンを借りる場合には、そういった実態をよく理解して返済計画を組みましょう。

No.2 回答者： wellow 回答日時： 2021/12/19 14:51

＞どのように計算したかも教えていただけるとありがたいです！！

スプレッドシートで。

No.1 回答者： wellow 回答日時： 2021/12/19 12:16

￥8,570,701かな。

元金が毎月3,000円弱減っていく感じ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。どのように計算したかも教えていただけるとありがたいです！！

お礼日時：2021/12/19 14:01