積分について。 n≦x≦n+1を満たす実数xについて、0≦f(x)≦f(n)が成り立つ時、 0≦∫(

積分について。

n≦x≦n+1を満たす実数xについて、0≦f(x)≦f(n)が成り立つ時、
0≦∫(n→n+1)f(x)dx≦f(n) である。

のはなぜですか？(；；)積分の基本かもしれないですが、、

そもそも『積分』というものが何をしているのか未だに分かっていません。(ほんとにすみません)
微分はその関数を拡大した時のある点の傾き すなわち接線の傾きを求めている というのは分かるのですが…積分はイメージ的には面積？ とか距離…？でもイマイチ分かってなくて…大変恐縮でお恥ずかしい限りですが、、
教えて下さい…泣

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/07 06:09

n≦x≦n+1

を満たす実数xについて、
0≦f(x)≦f(n)
が成り立つ時、
0=∫(n→n+1)0dx≦∫(n→n+1)f(x)dx≦∫(n→n+1)f(n)dx=f(n)
だから
0≦∫(n→n+1)f(x)dx≦f(n)

図の
(赤の面積)=∫(n→n+1)f(x)dx≦f(n)=(赤+青の面積)

この回答へのお礼

かるほど！！！やっぱり定積分はこれも面積を表してるのか！
n≦x≦n+1だからグラフは［n,n+1］区間で、
0≦ だからy軸より上すなわち正で、
更にf(x)≦f(n)がわかってるからxよりもnの方がyの値が大きい ∴減少関数 ってことか！
で、∫(n→n+1)f(x)dx はmtrajcp様が貼ってくださった図の赤い部分の面積で、
f(n)は高さf(n)、n〜n+1までの区間は横が長さ1だから、f(n)×1＝f(n)が赤+青の部分の面積で、
言うまでもなく0≦∫(n→n+1)f(x)≦f(n) が成り立つという訳ですね！
(自分の頭整理するためにズラズラと書いてしまいましたすみません、、)
パッとグラフでイメージするととても分かりやすい、というか一瞬でわかるんですね！すごいなあ。ちゃんとイメージして数学できるように頑張ります。
感謝です、ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/07 19:28

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/02/07 01:51

定積分はもともと「面積」を求めるためのもの. それに対して「微分の逆演算」つまり「微分した結果から『微分する前』を求める」のが不定積分.

だから由来は全然違うんだけど, この 2つが「関連したものである」ことを示したのが「微分積分学の基本定理」.

この回答へのお礼

なるほど、すごい、、、
f(x)の原始関数F(x)を戻る不定積分と 面積を求める定積分だと元々は意味･目的が大分違うものだったんですね、、
難しいけど少しイメージできました！ありがとうございました！

お礼日時：2022/02/07 19:08