n次導関数

f(x)=x^3*e^3x のn次導関数を求めよ。と言う問題です。

f'(x)=3x^3*e^3x+3x^2*e^3x
f''(x)=9x^3*e^3x+18x^2*e^3x+6x*e^3x
f'''(x)=27x^3*e^3x+71x^2*e^3x+54x*e^3x+6e^3x
と、ここまでは計算したのですが・・・。
よろしくお願いします。

No.3 回答者： tarame 回答日時： 2004/07/26 14:00

ｎ次導関数をf[n](x)＝(e^3x)(a[n]x^3＋b[n]x^2＋c[n]x＋d[n])とおくと

f[n+1]＝(e^3x){3a[n]x^3＋(3a[n]+3b[n])x^2＋(2b[n]＋3c[n])x＋c[n]＋3d[n]}より
漸化式
a[n+1]＝3a[n]，a[1]＝3
b[n+1]＝3b[n]＋3a[n]，b[1]＝3
c[n+1]＝3c[n]＋2b[n]，c[1]＝0
d[n+1]＝3d[n]＋c[n] ，d[1]＝0
を解けばよいと思います。

a[n]＝3・3^(n-1)＝3^n

b[n+1]/3^(n+1)＝b[n]/3^n＋1より
b[n]/3^n＝b[1]/3＋(n-1)＝n だから
b[n]＝n×3^n

以上のように求められます。
c[n],d[n]も同様に求められますね。

No.2 回答者： track 回答日時： 2004/07/25 11:02

ライプニッツの公式を使うのでは？

そのまま微分していくとものすごく大変ですよ。
微分してx^3がいずれ0になることに注目します。

t(x)=e^3x、u(x)=x^3　とおく。
u'(x)=3x^2
u''(x)=6x
…
d^n*u(x)/dx^n =0　　(n≧4)

ライプニッツの公式より、
d^n*f(x)/dx^n=
d^n*t(x)/dx^n *u(x)
+ n *d^(n-1)*t(x)/dx^(n-1) * d*u(x)/dx
+ n(n-1)/2! *d^(n-2)*t(x)/dx^(n-2) * d^2*u(x)/dx^2
+ n(n-1)(n-2)/3! *d^(n-3)*t(x)/dx^(n-3) * d^3*u(x)/dx^3

と、f(x)の(n-3)階微分、g(x)の3階微分まで書きます。
それ以降u(x)のn階微分が0になるのでここまでです。

No.1 回答者： 0shiete 回答日時： 2004/07/25 10:55

もう少しがんばって、先の導関数まで

導いてみてください。

各導関数の係数の現れ方に規則性があるはずです。
その規則を発見できれば、帰納法で証明できるのではないでしょうか？

この回答へのお礼

とりあえずさらに先の導関数を計算してみました。
そしたら規則性が！
あとは帰納法で証明です。
ありがとうございました。

お礼日時：2004/07/27 15:48