指数関数の微分で、2つ目のイコールのあとなぜそのような式に変換できたのかわかりません。

指数関数の微分で、2つ目のイコールのあとなぜそのような式に変換できたのかわかりません。

No.3 回答者： tanngoo3 回答日時： 2024/06/29 15:25

まずは

　2^x = y　　　　①
とおけば、対数の底を [2] のように書けば
　x = log[2](y) = log[e](y)/log[e](2)　　　　②
となるのはよいですね。
いわゆる「底の変換」です。

②を変形して（以下、自然対数の底は省略）
　log(y) = x･log(2)
対数の定義より
　y = e^[x･log(2)]

これを①に戻せば
　2^x = e^[x･log(2)]　　　　　③

( )' は「x で微分する」という意味だから
　t = x･log(2)
とおけば、合成関数の微分で
　(2^x)' = {e^[x･log(2)]}' = d[e^t]/dx = (d[e^t]/dt)(dt/dx) = ※
ここで
　d[e^t]/dt = e^t = e^[x･log(2)]　　　←これが第3式の第1項目
　dt/dx = log(2)　　　　　　　　　　　←これが第3式の第2項目
だから

　※ = e^[x･log(2)]･log(2)

さらに③を使って
　　= log(2)･2^x

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/25 20:38

「2つ目のイコールのあと」だよねぇ....

具体的には何に頭をひねっている?

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/06/25 16:48

合成関数の微分公式を用います。

t=(log2)xとおくと
d2^x/dx=d[e^{(log2)x}]/dx=d(e^t)/dt*dt/dx
と変形できます。
d(e^t)/dt=e^t=e^{(log2(x}
となり、
dt/dx=d{(log2)x}/dx=log2
となることから、これを掛け合わせたものが求める導関数となります。

このような計算は今後何度も出てくるでしょう。暗算でできるくらいにはなっておかないと苦労しますよ。