No.5ベストアンサー
- 回答日時:
0以上の整数aに対し各桁の和をd(a)で表す。
例えばd(567)=5+6+7=18
dは次の性質が成り立つ。
ただしa,b,kは0以上の整数
①d(a+b)≦d(a)+d(b)
②d(a*10^k)=d(a)
③d(a)≦a
上記の性質の成立理由
①d(a+b)とd(a)+d(b)の違いはaとbを足した時に繰り上がりがあるかどうかで異なる。繰り上がりがなければ明らかにd(a+b)=d(a)+d(b)
ある桁で繰り上がりがある場合、その桁は10が0になるので10減り、次の桁は1増えるので各桁の和としては9減ることになる。
繰り上がりが1回の例
d(12+39)=d(51)=6
d(12)+d(39)=1+2+3+9=15
6-15=-9
繰り上がりが複数回あれば繰り上がりの回数×9だけ各桁の和が減る
繰り上がりが2回の例
d(12+99)=d(111)=3
d(12)+d(99)=3+18=21
3-21=-18=-2*9
どのような場合であっても d(a+b)≦d(a)+d(b)が成立
②10^k倍しても0がk個追加されるだけなので各桁の和は不変
③例えばd(123)=1+2+3 < 1*10^2+2*10+3=123と考えればよい。
以上より
d(Σ[k=0→n]a_k*10^k)
≦Σ[k=0→n]d(a_k*10^k)(∵①)
=Σ[k=0→n]d(a_k) (∵②)
≦Σ[k=0→n]a_k (∵③)
したがって各桁の和 d(Σ[k=0→n]a_k*10^k)はΣ[k=0→n]a_k以下といえる。
この回答へのお礼
お礼日時:2022/04/02 18:22
ありがとうございました。
とてもよく理解できました。
ヘボい回答しかつかないので困っていたところへまさかこんなスマートな回答をいただけて、感動しました。
No.3
- 回答日時:
もしかしてだけど。
a_k <10 って書いてないから、
a_k = 10, 9
Σ[k=0→n] (a_k・10^k) = 10 + 90 = 100
各桁の和は 1+0+0 = 1
Σ[k=0→n] a_k = 10 + 9 = 19
よって 各桁の和 1 は Σ[k=0→n] a_k =19 以下
って話かな
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