
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
log を微分する話と
合成関数の微分とを
一度に考えようとするからややこしい
だけではないでしょうか。
z = log|y| のとき
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) = (1/y)(y’)
ということですから、
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) と
dz/dy = 1/y を
それぞれ別の話として理解すればよいです。
dz/dx = (dz/dy)(dy/dx) は流石に解るでしょうから、
ここでは dz/dy = 1/y を説明してみます。
log|y| は y = 0 のとき微分どころか値さえ定義されない
ので、 この式は y > 0 と y < 0 の場合に意味を持つ式です。
(d/dy)log|y| = 1/y は
y > 0 のとき (d/dy)log y = 1/y と
y < 0 のとき (d/dy)log(-y) = 1/y を表しています。
y > 0 のとき (d/dy)log y = 1/y のほうは、
z = log y ⇔ y = e^z であることから
dz/dy = 1/(dy/dz) = 1/((d/dz)e^z) = 1/e^z = 1/y
と計算することができます。
dz/dy = 1/(dy/dz) は、逆関数の微分です。
合成関数の微分を f(z) = z に適用すると
1 = dz/dz = (dz/dy)(dy/dz) から得ることができます。
y < 0 のとき (d/dy)log(-y) = 1/y のほうは、
z = log(-y), u = -y と置いて上記を利用すると
dz/dy = (dz/du)(du/dy) = (1/u)(-1) = (-1/y)(-1) = 1/y
と計算することができます。
No.2
- 回答日時:
最初の回答を勝手に補足。
そもそもlog|y|をそのままの形でxで微分した式を書き表すなんて無理な話ですよね。でもyで微分する事なら簡単にできます。なので元の関数を
y=f(x)
u(y)=log|y|
と言う合成関数と考えて
du/dx=(du/dy)(dy/dx)
と考えれば、du/dyは微分の公式そのままですから後は簡単に計算できます。
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