SL(2,Z)の中心について

SL(2,Z)の中心が±E(単位行列)に一致することが分からないので、どなたか解答よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/04/27 17:26

SL(2,Z)=(整数を成分にもつ行列式1の2次行列)

A∈Z(SL(2,Z))={A∈SL(2,Z)|X∈SL(2,Z)→AX=XA}

A
=
(a,b)
(c,d)

|A|=ad-bc=1

X
=
(1,1)
(0,1)

|X|=1

AX-XA
=
(a,b)(1,1)-(1,1)(a,b)
(c,d)(0,1).(0,1)(c,d)
=
(a,a+b)-(a+c,b+d)
(c,c+d).(c..,d..)
=
(-c,a-d)
(0.,c..)
=
(0,0)
(0,0)

c=0…(1)
a-d=0
a=d
|A|=ad-bc=a^2=1
a=d=±1…(2)

Y
=
(1,0)
(1,1)

|Y|=1

AY-YA
=
(a,b)(1,0)-(1,0)(a,b)
(c,d)(1,1).(1,1)(c,d)
=
(a+b,b)-(a..,b..)
(c+d,d).(a+c,b+d)
=
(b..,0.)
(d-a,-b)
=
(0,0)
(0,0)

b=0
↓これと(1),(2)から

A
=
(a,b)=(±1,0)
(c,d).(0,±1)
=
±E

この回答へのお礼

理解できました。
ありがとうございます！

お礼日時：2022/04/28 10:32