limit[n→∞]{∑[k=1,n](n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k)}=1/2*lo

limit[n→∞]{∑[k=1,n](n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k)}=1/2*log3
となりますが、区分求積で求めようとすると 1/n が邪魔になって上手くいきません。どうしたら良いでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 失礼しました。極限値は 1/2*log3-1/3 でした。

    補足日時：2022/05/01 20:04

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/01 19:47

与式の内部を

　Ak=(n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k)
とすると
　Ak=2k/{(n+1+2k)(n+2k)}
なので
　2k/(n+1+2k)² < Ak<2k/(n+2k)²
→ Σ 2k/(n+1+2k)² < Σ Ak < Σ 2k/(n+2k)²・・・・・①

このとき、右辺は
　Σ 2k/(n+2k)² = (1/2)Σ (2k/n)/(1+2k/n)²・2/n
すなわち、区間 [0,2] をn等分して区間幅 2/n を加算したものでその
極限は
　B=(1/2)∫[0,2] x/(1+x)² dx=(1/2)∫[0,2] {1/(1+x)-1/(1+x)²} dx
　 =(1/2)[log(1+x)+1/(1+x)][2,0]=(1/2)[log3+1/3-1]
　 =(1/2)log3-2/3・・・・・・②

また、①の左辺は
　Σ[k=1,n] 2k/(n+1+2k)²
　= (1/2)Σ[k=1,n] (2k/(n+1))/(1+2k/(n+1))²・2/(n+1)
　= (1/2)Σ[k=1,n+1] (2k/(n+1))/(1+2k/(n+1))²・2/(n+1)
　　　- (1/2)(2(n+1)/(n+1))/(1+2(n+1)/(n+1))²・2/(n+1)

ここで、最後の式の前者は、区間[0,2]を(n+1)等分した和で、この極限
は②と同じ。最後の式の後者は
　- (1/2)(2(n+1)/(n+1))/(1+2(n+1)/(n+1))²・2/(n+1)
　= - 1/(1+2)²・2/(n+1) → 0
なので、①の左辺の極限は②と同じなので
　B≦Σ Ak≦B
となり、与式の極限はBとなる。

この回答へのお礼

不覚にも不等式ではさむことに気づきませんでした。私は、1/n∑(2k/n)/{(1+1/n+2k/n)(1+2k/n} と変形して、
1/n を無視して ∫[0,1]2x/(1+2x)^2dx で求めようとしましたが、結果的にそれでよかったのですね。いつもながら、厳密な解答をいただきありがとうございました。

お礼日時：2022/05/01 20:30

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/02 05:22

訂正

分子や分母のもう１つの (2k/n) も (2(k+1/2)/n) にしなければなら
ないので #3のようにはできなかった。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/01 22:47

∑{(2k/n)/(1+1/n+2k/n)} (1/n)

=∑{(2k/n)/{(1+2(k+1/2)/n)}(1/n)

なので、リーマン和は、区間 [2(k-1)/n, 2k/n] の間のどこでもよいので
あなたの論理でもよいと思います。

ただ、kの区間がずれるのでほろうはひつようです。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/01 20:27

失礼しました。

1/2*log3-1/3=1/2(log3-2/3) でした。