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ローラン展開に関して質問があります。 「i) a=1 0<r<2 C={z||z-a|=r} f(z

締切済

  • 質問者：akitv
  • 質問日時：
  • 回答数：22件

ローラン展開に関して質問があります。
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
a(n)=0

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
」
に関して、
なぜn≦-2の時
a(n)=0になったのでしょうか？

また、なぜn≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で極を持つと分かったのでしょうか？z=-1でも良いと思うのですが。

質問者からの補足コメント

  • mtrajcp様、ありがとうございます。
    ちなみに、画像における赤い下線部に関して質問があるのですが、2枚目の画像のような理解で正しいでしょうか？

    「ローラン展開に関して質問があります。 「」の補足画像1
      補足日時：2022/05/19 21:46
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  • こちらが2枚目の画像です。

    出来れば、補足のURLのサイトに関する質問にも答えていただけるとありがたいです。

    「ローラン展開に関して質問があります。 「」の補足画像2
      補足日時：2022/05/19 21:47
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  • 度々すいません。

    a=1
    r>2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    として
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
    の時に以下のようにもa(n)は表せるようですが、
    {1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]
    =-1/(-2)^(n+2)

    mtrajcp様の解答には1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]の部分が見当たりませんが、仮に1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導く場合、どうやって1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導くのでしょうか？

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時：2022/05/20 13:11
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  • すいません。
    もう一つ質問があるのですが、

    i)
    a=1
    0<r<2
    C={z||z-a|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    の時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使ってn≧-1の時に
    -1/(-2)^(n+2)を導くまでを
    2022.5.19 11:23の時に頂いた解答のように詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時：2022/05/20 17:58
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  • ちなみに、2022.5.19 11:23の
    「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
    ∴
    a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
    は正しくは

    「lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
    ∴
    a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
    で良いでしょうか？

    また、2022 5.20 21:17に関して、

    a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)から
    a(n)=-1/(-2)^(n+2)となるまでをもう少し細かく教えて頂けないでしょうか？

    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時：2022/05/22 06:31
    通報する

  • 申し訳ありません。

    i)
    0<r<2
    C={z||z-1|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    で、
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って
    a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くまでを詳しく教えて頂けないでしょうか？
    どうかよろしくお願い致します。

      補足日時：2022/05/22 06:51
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  • 2022.5.19 11:23
    の解答について、
    もう一つ質問がございます。
    「r>2
    C={z||z-1|=r}
    f(z)=1/(z^2-1)
    f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
    a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
    ...
    ∴
    a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
    と出ましたが、

    r>2
    C={z||z-1|=r}よりlim_{z→-1}の時、
    |z-1|=rは|-1-1|=r ∴r=2となり、
    rは2より大きくはないためr>2の範囲に反すると思うのですが、なぜrの範囲に反しているのにa(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)と導けたのでしょうか？

      補足日時：2022/05/22 07:16
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  • 度々失礼致します。

    2022 5.20 21:17での回答について質問がございます。
    「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

    ↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

    a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」
    の部分の
    「(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」関して、
    どうやって、
    (d/dz)^(n+1){1/(z+1)}と
    (n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)を=で結べたのでしょうか？
    どうか詳しく教えて下さい。
    よろしくお願い致します。

      補足日時：2022/05/22 07:32
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この質問への回答は締め切られました。

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A 回答 (22件中1～10件)

No.22

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

|z-1|>2の範囲で



zを-1に近づける事ができるというのであって
どんな方向からも近づけるといっているのではありません

z=-0.99の方向からではなくz=-1.01の方向から

z→-1

とできる
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この回答へのお礼

なるほど、z=-1.01の方向から
z→-1に近づき、それ以降の(0方向への) z=-0.99には行かないとわかりました。

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お礼日時：2022/05/23 14:19

No.21

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

|z-1|-2=r-2>0に関して、



z=-1.01

とすれば

|-1.01-1|-2=r-2>0
|-2.01|-2=r-2>0

0.01=r-2>0
となり
成り立つから

z=-1-(1/n)

n→∞
とすれば

z→-1

とできる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにz=-1.01なら成り立ちます。しかし、z=-0.99では成り立たないのは仕方ないのでしょうか？z=-0.99もz→-1だと思うのですが。

どうかよろしくお願い致します。

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お礼日時：2022/05/23 01:42

No.20

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)



n≧-1
k=n+1
とすると

(d/dz)^k{1/(z+1)}=k!(-1)^k/(z+1)^(k+1)

P(k)=[(d/dz)^k{1/(z+1)}=k!(-1)^k/(z+1)^(k+1)]
とする

P(0)=[1/(z+1)=0!(-1)^0/(z+1)^1=1/(z+1)]
は真

ある整数k≧0 に対して
P(k)が真と仮定すると

(d/dz)^k{1/(z+1)}=k!(-1)^k/(z+1)^(k+1)
↓両辺を微分すると
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=k!(-1)^k(d/dz){1/(z+1)^(k+1)}
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=k!(-1)^k(d/dz)(z+1)^(-k-1)
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=k!(-1)^k(-k-1)(z+1)^(-k-2)
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=k!(-1)^k(-1)(k+1)/(z+1)^(k+2)
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=(k+1)k!(-1)^k(-1)/(z+1)^(k+2)
(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=(k+1)!(-1)^(k+1)/(z+1)^(k+2)
だから
P(k+1)=[(d/dz)^(k+1){1/(z+1)}=(k+1)!(-1)^(k+1)/(z+1)^(k+2)]
も
真だから
全ての非負整数kに対してP(k)が真だから
(d/dz)^k{1/(z+1)}=k!(-1)^k/(z+1)^(k+1)
が成り立つ
から
整数n≧-1に対して

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
が成り立つ
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No.19

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

r>2


C={z||z-1|=r}より
lim_{z→-1}の時、
|z-1|=rは|-1-1|=r ∴r=2となり、
rは2より大きくはないため
z=-1にはできなく
|z-1|>2
|z-1|-2=r-2>0
だけれども
(|z-1|-2)の値は
いくらでも小さな正の値をとることができるから
0に近づける事はできるから
zと-1の距離は0ではないけれども
いくらでも0に近い値にできるから

zを-1に近づける事はできる

z→-1とできるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

|z-1|-2=r-2>0に関して、z→-1の時
zが例えば-0.99とかの場合、
|-0.99-1|-2=r-2>0
|-1.99|-2=r-2>0
-0.01=r-2>0となり、不等式が成り立ちませんが、何が間違っているのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

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お礼日時：2022/05/22 20:14

No.18

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

i)


0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)

↓0<|z-1|=r<2 だから zを1に近づけることができるから,z→1とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
↓右辺の分母と分子に(-1)^(n+2)をかけると
a(n)=(-1)^(n+2)(-1)^(n+1)/{(-1)^(n+2)2^(n+2)}
a(n)=(-1)^(2n+3)/(-2)^(n+2)
a(n)={(-1)^(2n)}(-1)^3/(-2)^(n+2)
a(n)=({(-1)^2}^n)(-1)/(-2)^(n+2)
a(n)=(1^n)(-1)/(-2)^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)
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No.17

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)は間違いでした


訂正します
ii)
r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)…(2)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz…(3)
z=-1は
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の1位の特異点だから
z=-1を中心に
g(z)を展開して
(
z=-1は1位の特異点だから
(z+1)^(-1)=1/(z+1)の項から始まるから
m=-1から始まるから
)
g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺を{|z+1|=s}で積分すると
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz+Σ_{m≠-1}b(m)∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz
↓∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz=2πi,∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz=0だから
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=2πib(-1)
↓両辺を2πiで割ると
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)
↓これと(3)から
a(n)=b(-1)
↓これと(4)から
g(z)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓これと(2)から
(z-1)^(-n-2)/(z+1)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺に(z+1)をかけると
(z-1)^(-n-2)=a(n)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)+lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)=0だから
lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
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No.16

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

i)の場合


0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)

↓0<|z-1|=r<2 だから zを1に近づけることができるから,z→1とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)
-----------------------------------------------
ii)の場合
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
の時は
|z-1|=r>2
|z-1|>2
だから
zを1に近づけることはできないので

a(n)≠{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
改めて、

ii)の場合
a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
の時は

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}は使えないので、a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使うとわかりました！

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お礼日時：2022/05/22 06:22

No.15

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

a=1


r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
の時は
|z-1|=r>2
|z-1|>2
だから
zを1に近づけることはできないので

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
は
間違いです
-----------------------------------------------------

∫_{C}f(z)dz=2πiΣ_{i}Res_{z=a_i}f(z) (12)
が
留数定理です
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No.14

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

a=1


r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
の時は
|z-1|=r>2
|z-1|>2
だから
zを1に近づけることはできないので

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
は
間違いです
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No.13

  • 回答者： mtrajcp
  • 回答日時：

i)


0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
z=1は1位の特異点だから
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓f(z)=1/(z^2-1)だから
1/(z^2-1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^m
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-1)^(m+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m-n)!}a(m)(z-1)^(m-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!でわると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=lim_{z→1}(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)
a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)
∴
a(n)=-1/(-2)^(n+2)
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この回答へのお礼

もう一つ、http://hooktail.sub.jp/complexanalysis/residueTh …

のサイトでは留数の定理について解説されていますが、どの式が留数の定理なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

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お礼日時：2022/05/20 22:35

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