ローラン展開に関して質問があります。 「i) a=1 0<r<2 C={z||z-a|=r} f(z

ローラン展開に関して質問があります。
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
a(n)=0

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
」
に関して、
なぜn≦-2の時
a(n)=0になったのでしょうか？

また、なぜn≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で極を持つと分かったのでしょうか？z=-1でも良いと思うのですが。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  ちなみに、画像における赤い下線部に関して質問があるのですが、2枚目の画像のような理解で正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/19 21:46

• こちらが2枚目の画像です。
  
  出来れば、補足のURLのサイトに関する質問にも答えていただけるとありがたいです。

  
    補足日時：2022/05/19 21:47

• 度々すいません。
  
  a=1
  r>2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  として
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
  の時に以下のようにもa(n)は表せるようですが、
  {1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]
  =-1/(-2)^(n+2)
  
  mtrajcp様の解答には1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]の部分が見当たりませんが、仮に1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導く場合、どうやって1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導くのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/20 13:11

• すいません。
  もう一つ質問があるのですが、
  
  i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  の時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使ってn≧-1の時に
  -1/(-2)^(n+2)を導くまでを
  2022.5.19 11:23の時に頂いた解答のように詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/20 17:58

• ちなみに、2022.5.19 11:23の
  「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  は正しくは
  
  「lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  で良いでしょうか？
  
  また、2022 5.20 21:17に関して、
  
  a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)から
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)となるまでをもう少し細かく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 06:31

• 申し訳ありません。
  
  i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  で、
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くまでを詳しく教えて頂けないでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 06:51

• 2022.5.19 11:23
  の解答について、
  もう一つ質問がございます。
  「r>2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
  ...
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  と出ましたが、
  
  r>2
  C={z||z-1|=r}よりlim_{z→-1}の時、
  |z-1|=rは|-1-1|=r ∴r=2となり、
  rは2より大きくはないためr>2の範囲に反すると思うのですが、なぜrの範囲に反しているのにa(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)と導けたのでしょうか？

    補足日時：2022/05/22 07:16

• 度々失礼致します。
  
  2022 5.20 21:17での回答について質問がございます。
  「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  
  ↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから
  
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」
  の部分の
  「(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」関して、
  どうやって、
  (d/dz)^(n+1){1/(z+1)}と
  (n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)を=で結べたのでしょうか？
  どうか詳しく教えて下さい。
  よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 07:32

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/18 06:27

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz …(1)

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
積分経路Cの内側で正則な関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから
↓これと(1)から

a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
だから

a(n)=0
といえるのです

n≧-1の時

|z-1|=r<2
|z-1|<2
だから
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は

z=-1では極を持ちません

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/18 06:13

n≦-2の時

↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
は
Cの内側で正則だから

コーシーの積分定理から
積分経路Cの内側で正則な関数
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の積分
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz=0
になるから

a(n)=0
といえるのです

n≧-1の時

|z-1|=r<2
|z-1|<2
だから
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は

z=-1では極を持ちません

この回答へのお礼

丁寧なご説明ありがとうございます。
あの、ほかの質問で申し訳ないのですが、

a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
としてz =-1で極を持つので
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz...①
からlim[z→-1]{1/(z-1)^(n+2)}を導くまでを教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/05/18 13:10