ローラン展開に関して質問があります。 「i) a=1 0<r<2 C={z||z-a|=r} f(z

ローラン展開に関して質問があります。
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≦-2の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
a(n)=0

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)
」
に関して、
なぜn≦-2の時
a(n)=0になったのでしょうか？

また、なぜn≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1で極を持つと分かったのでしょうか？z=-1でも良いと思うのですが。

質問者からの補足コメント

• mtrajcp様、ありがとうございます。
  ちなみに、画像における赤い下線部に関して質問があるのですが、2枚目の画像のような理解で正しいでしょうか？

  
    補足日時：2022/05/19 21:46

• こちらが2枚目の画像です。
  
  出来れば、補足のURLのサイトに関する質問にも答えていただけるとありがたいです。

  
    補足日時：2022/05/19 21:47

• 度々すいません。
  
  a=1
  r>2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  として
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
  の時に以下のようにもa(n)は表せるようですが、
  {1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]
  =-1/(-2)^(n+2)
  
  mtrajcp様の解答には1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]の部分が見当たりませんが、仮に1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導く場合、どうやって1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導くのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/20 13:11

• すいません。
  もう一つ質問があるのですが、
  
  i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  の時にa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}を使ってn≧-1の時に
  -1/(-2)^(n+2)を導くまでを
  2022.5.19 11:23の時に頂いた解答のように詳しく分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/20 17:58

• ちなみに、2022.5.19 11:23の
  「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  は正しくは
  
  「lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  で良いでしょうか？
  
  また、2022 5.20 21:17に関して、
  
  a(n)=(-1)^(n+1)/2^(n+2)から
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)となるまでをもう少し細かく教えて頂けないでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 06:31

• 申し訳ありません。
  
  i)
  0<r<2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  で、
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzを使って
  a(n)=-1/(-2)^(n+2)を導くまでを詳しく教えて頂けないでしょうか？
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 06:51

• 2022.5.19 11:23
  の解答について、
  もう一つ質問がございます。
  「r>2
  C={z||z-1|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
  ...
  ∴
  a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
  と出ましたが、
  
  r>2
  C={z||z-1|=r}よりlim_{z→-1}の時、
  |z-1|=rは|-1-1|=r ∴r=2となり、
  rは2より大きくはないためr>2の範囲に反すると思うのですが、なぜrの範囲に反しているのにa(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)と導けたのでしょうか？

    補足日時：2022/05/22 07:16

• 度々失礼致します。
  
  2022 5.20 21:17での回答について質問がございます。
  「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  
  ↓(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)だから
  
  a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」
  の部分の
  「(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)」関して、
  どうやって、
  (d/dz)^(n+1){1/(z+1)}と
  (n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)を=で結べたのでしょうか？
  どうか詳しく教えて下さい。
  よろしくお願い致します。

    補足日時：2022/05/22 07:32

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/20 20:35

r>2

C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)…(2)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz…(3)
z=-1は
g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の1位の特異点だから
z=-1を中心に
g(z)を展開して
(
z=-1は1位の特異点だから
(z+1)^(-1)=1/(z+1)の項から始まるから
m=-1から始まるから
)
g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺を{|z+1|=s}で積分すると
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz+Σ_{m≠-1}b(m)∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz
↓∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz=2πi,∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz=0だから
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=2πib(-1)
↓両辺を2πiで割ると
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)
↓これと(3)から
a(n)=b(-1)
↓これと(4)から
g(z)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓これと(2)から
(z-1)^(-n-2)/(z+1)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺に(z+1)をかけると
(z-1)^(-n-2)=a(n)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)+lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)=0だから
lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

この回答へのお礼

いつもご親切にどうもありがとうございます。

「a=1
r>2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
として

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の時に以下のようにもa(n)は表せるようですが、
{1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]
=-1/(-2)^(n+2)

mtrajcp様の解答には1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]の部分が見当たりませんが、仮に1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導く場合、どうやって1/(n+1)!}[(-1)^{n+1}(n+1)! 1/2^(n+2)]を導くのでしょうか？」

に関する解答ありがとうございます。

ちなみに、2022.5.19 11:23
の「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
の部分は
正しくは
「lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
でしょうか？

お礼日時：2022/05/20 22:34

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/20 06:16

再訂正です

z=π/2 でtan(z)(z-π/2)^(-n-1)は定義できないから正則でないので

tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は|z-π/2|<πで正則(微分可能)
というのは間違いです

正しくは

z≠π/2の時 g(z)=tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
z=π/2の時 g(z)=lim_{z→π/2}tan(z)(z-π/2)^(-n-1)
とすると
g(z)は　|z-π/2|<πで正則(微分可能)

です

tan(z)=sin(z)/cos(z)

だから
z=±π/2+2nπ
の時
分母cos(z)=0
となるので
tan(z)は定義できないので
tan(z)はz=(±π/2)+2nπ で正則ではありません
z≠(±π/2)+2nπ
の時
tan(z)の微分は
(tan(z))'=1/(cos(z))^2
となり
微分可能だから正則です

g(z)は　|z-π/2|<πで正則(微分可能)
としたのは
展開の中心が
z=π/2
だからであって
0<|z-π/2|<R
でtan(z)が正則となるような最大のRはR=πだから

0<|z-π/2|<π
としたのであって

0<|z-π/2|<π
以外で正則でないわけではありません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、できれば最後に以前に載せたサイトについての質問に答えて頂けるとありがたいです。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/20 12:56

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/20 06:06

訂正です

z=π/2 でtan(z)(z-π/2)^(-n-1)は定義できないから正則でないので

tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は|z-π/2|<πで正則(微分可能)
というのは間違いです

正しくは

tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は0<|z-π/2|<πで正則(微分可能)

です

tan(z)=sin(z)/cos(z)

だから
z=(±π/2)+2nπ
の時
分母cos(z)=0
となるので
tan(z)は定義できないので
tan(z)はz=(±π/2)+2nπ で正則ではありません
z≠(±π/2)+2nπ
の時
tan(z)の微分は
(tan(z))'=1/(cos(z))^2
となり
微分可能だから正則です

tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は0<|z-π/2|<πで正則(微分可能)
としたのは
展開の中心が
z=π/2
だからであって
0<|z-π/2|<R
でtan(z)が正則となるような最大のRはR=πだから

0<|z-π/2|<π
としたのであって

0<|z-π/2|<π
以外で正則でないわけではありません

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/20 03:50

いいえ違います正の範囲ではありません

正則の（則）と（側）は全く違うものだから
正側等と書いてはいけません間違いです
正則の　（則）は規則の（則）　だから正しい規則という意味で

正則とは微分可能という意味です

tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は|z-π/2|<πで正則(微分可能)だから
という意味です

この回答へのお礼

ありがとうございます。
>> tan(z)(z-π/2)^(-n-1)は|z-π/2|<πで正則(微分可能)だから
出来れば、|z-π/2|<πの時の具体的な値をtan(z)(z-π/2)^(-n-1)に代入して正則であることと、逆に|z-π/2|<πの範囲以外ではtan(z)(z-π/2)^(-n-1)は正則ではない事を説明して頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/05/20 05:25

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 20:30

z=-1は

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)
の1位の特異点だから
z=-1を中心に
g(z)を展開して

(
z=-1は1位の特異点だから
(z+1)^(-1)=1/(z+1)の項から始まるから
m=-1から始まるから
)

g(z)=Σ_{m=-1～∞}b(m)(z+1)^m

g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m

と
ローラン展開できるのです

この回答へのお礼

2022.5.19 11:23
の解答に関して、
最後が
「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
となっているのですが、
正しくは
「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)」
でしょうか？
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/20 18:07

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 19:31

z=-1はg(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)

の1位の特異点だから
z=-1を中心に
g(z)を展開して

g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
と
ローラン展開できるのです
b(-1)、b(m)は未知数です

この回答へのお礼

なるほど、ローラン展開の公式に代入して作ったことはわかりました。
ですが、わからない部分があります。
なぜg(z)=Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^mではなく、g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
なのでしょうか？どうやってb(-1)/(z+1)が出てきたのでしょうか？

また、留数の定理は例えばa(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)などと表現されていますが、http://hooktail.sub.jp/complexanalysis/residueTh …のサイトにはa(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)のようなResを含んだ式はありませんが、サイトに書かれている(何番の)どの式が留数の定理なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/19 20:23

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 11:23

zを限りなく-1にして分母の(z+1)が消えてというのは間違いです

zを限りなく-1にして分母の(z+1)が0に近づくと
(z-1)^(-n-2)/(z+1)は∞に発散するのです
z=-1における留数とは
-1を中心とする円周|z+1|=s>0上で積分の値なのです

r>2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)…(2)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz…(3)
z=-1はg(z)の1位の特異点だから
z=-1を中心にg(z)を展開して
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m…(4)
↓両辺を{|z+1|=s}で積分すると
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz+Σ_{m≠-1}b(m)∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz
↓∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz=2πi,∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz=0だから
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=2πib(-1)
↓両辺を2πiで割ると
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)
↓これと(3)から
a(n)=b(-1)
↓これと(4)から
g(z)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓これと(2)から
(z-1)^(-n-2)/(z+1)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺に(z+1)をかけると
(z-1)^(-n-2)=a(n)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)+lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)=0だから
lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
あのちなみに、
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m…(4)に関して、どうやって右辺が出来たのでしょうか？右辺の式の作り方が知りたいです。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/19 19:19

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/19 09:46

r>2

C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)
n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて
{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz

g(z)=(z-1)^(-n-2)/(z+1)…(2)
とすると
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz…(3)
z=-1はg(z)の1位の特異点だから
z=-1を中心にg(z)を展開して
g(z)=b(-1)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m…(4)
↓両辺を{|z+1|=s}で積分すると
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz+Σ_{m≠-1}b(m)∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz
↓∫∳_{|z+1|=s}/(z+1)dz=2πi,∫∳_{|z+1|=s}{(z+1)^m}dz=0だから
∫∳_{|z+1|=s}g(z)dz=2πib(-1)
↓両辺を2πiで割ると
{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}g(z)dz=b(-1)
↓これと(3)から
a(n)=b(-1)
↓これと(4)から
g(z)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓これと(2)から
(z-1)^(-n-2)/(z+1)=a(n)/(z+1)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^m
↓両辺に(z+1)をかけると
(z-1)^(-n-2)=a(n)+Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓z→-1とすると
lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)+lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)
↓lim_{z→-1}Σ_{m=0～∞}b(m)(z+1)^(m+1)=0だから
lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

この回答へのお礼

度々すいません。
2022.5.19 09:46
の最後の行の
「lim_{z→-1}(z-1)^(n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」は
正しくは
「lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)=a(n)
∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)」
でしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/25 12:46

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/18 16:26

r>2

C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz…①
↓この右辺のf(z)に　f(z)=1/(z^2-1)　を代入すると
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}(1/{(z^2-1)(z-1)^(n+1)})dz
↓(z^2-1)(z-1)^(n+1)=(z+1)(z-1)^(n+2) だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
↓　1/(z-1)^(n+2)=(z-1)^(-n-2)だから
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(1)

n≦-2の時
↓両辺に-nを加えると
0≦-n-2
だから
(z-1)^(-n-2)/(z+1)
のCの内側の特異点はz=-1だけでz=-1は1位の特異点だから
留数定理から
C={z||z-1|=r}を{z||z+1|=s},(0<s<1)に置き換えることができて

{1/(2πi)}∳_{C}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz
↓これと(1)から
a(n)={1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}dz…(2)

左辺はz=1を中心にf(z)を展開した時の{(z-1)^n}項の係数a(n)で
右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数
z=-1における(z-1)^(-n-2)/(z+1)の留数だから

{1/(2πi)}∳_{|z+1|=s}{(z-1)^(-n-2)/(z+1)}=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)
↓これと(2)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)…(3)

↓右辺はz=-1を中心に(z-1)^(-n-2)/(z+1)を展開した時の1/(z+1)項の係数だから
↓z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の1位の特異点だから
↓留数の公式から
↓Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
↓これと(3)から

a(n)=Res((z-1)^(-n-2)/(z+1),-1)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)
だから

∴
a(n)=lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)

この回答へのお礼

なんとなく、わかってきました。
ですが、質問が二つございます。

質問1
z=-1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の1位の特異点だから
zを限りなく-1にして分母の(z+1)が消えて、
1/(z+1)項の係数であり留数として残る。
それを式にすると
lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)となるとわかったのですが、{1/(2πi)}も係数だと思うのですが、
なぜ{1/(2πi)}lim_{z→-1}(z-1)^(-n-2)ではないのでしょうか？

質問2
「i)
a=1
0<r<2
C={z||z-a|=r}
f(z)=1/(z^2-1)
a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
とすると

a(n)={1/(2πi)}∳_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz

n≧-1の時
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|=rの時、z=1でn+2位の極を持つから
a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
=-1/(-2)^(n+2)」
に関して、留数{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}に{1/(n+1)!}が含まれる理由を今回頂いた解答と同じ要領で教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/05/18 20:38

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/18 12:30

> なぜn≦-2の時

Cに囲まれてるところが正則だから。

> z=-1でも良い
r<2だから、それはCの外。