確率について Xは期待値-1、分散4の正規分布であるとき、 P(-1<=X<=1)であるときの確率を

確率について　
Xは期待値-1、分散4の正規分布であるとき、
P(-1<=X<=1)であるときの確率を求めよ。
これを教えて欲しいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/06/28 15:00

正規分布って、分かりますか？

こんな形をした分布です。
↓
https://atarimae.biz/archives/9850

この分布は、横軸が「統計変数」つまり「テストの点数」とか「身長」などを表わし、縦軸がその「度数」（人数や個数）を表わします。
「度数」の総数が分かっていれば、曲線は各々の度数を総数で割った「確率密度」に相当します。
つまり分布曲線は「確率密度曲線」でもあるわけで、横軸の「ある値からある値まで」の範囲で区切った部分の面積が「その値の範囲内にある確率」に相当します。

そして、「正規分布」はすべて「相似形の分布」ですから、「平均が 0、標準偏差が 1」の正規分布に規格化して議論すると、数値計算がしやすくなります。この規格化した正規分布を「標準正規分布」と呼び、横軸の変数の値と確率の関係を数値化した「標準正規分布表」というものがあって、それを使うと確率の計算が簡単にできます。（おそらく、お使いの統計のテキストの巻末にも載っていると思います）

平均（期待値）が μ、標準偏差が σ の正規分布に従う変数 X を「標準正規分布の変数 Z」に規格化するには
　Z = (X - μ)/σ
で変換すればよいです。

お示しの例では、
　μ = -1, σ = √分散 = √4 = 2
なので
　Z = (X + 1)/2
で変換します。

そうすれば
　X=-1 → Z = (-1 + 1)/2 = 0
　X=1 → Z = (1 + 1)/2 = 1
ですから、
　P(-1≦X≦1) = P(0≦Z≦1)　　　①
ということになります。

下記の標準正規分布表（#1 さんのものとは「逆側」の確率を表にしたもの）だと「0～Z」の範囲の表になっているので
Z = 1.0
のところを読み取ればよいので
　P(0≦Z≦1) = 0.3413
と読み取ればおしまいです。

標準正規分布表（「0～Z」のタイプ）
↓
https://math-juken.com/center/btoukei2/

①より、これが
　P(-1≦X≦1) = 0.3413
ということになります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2022/06/28 19:48

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/27 20:30

「P(-1<=X<=1) であるときの確率」？

「-1 ≦ X ≦ 1 である確率」と言いたかったのかな。
それを P(-1 ≦ X ≦ 1) と書くのだけれど。

正規分布の確率は、標準正規分布に帰着するしかない
ので、 X = -1 + 2Z と置く。
この Z は、 期待値 0, 分散 1 の正規分布に従っている。
-1 ≦ X ≦ 1 は 0 ≦ Z ≦ 1 と同値だから、
P(-1 ≦ X ≦ 1) = P(0 ≦ Z ≦ 1) を表から求めればよい。
標準正規分布表には、いくつかの形式があるが、
参考↓のタイプの表なら
https://staff.aist.go.jp/t.ihara/normsdist.html
P(0 ≦ Z ≦ 1) = 1/2 - P(Z ≧ 1) ≒ 0.5 - 0.158655
≒ 0.341345