m^n+n^mが素数となる整数m,nの組は何通り存在しますか？ 昨日妻とm^n+n^mが素数となる整

m^n+n^mが素数となる整数m,nの組は何通り存在しますか？

昨日妻とm^n+n^mが素数となる整数m,nの組が何通りか求めたいという話になったのですが、何通り存在するのでしょうか？そもそも解は存在するのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/23 03:00

m と n のどちらかが 1 であるような「自明」な組み合わせが無限にあることは指摘のある通り. 一方でそのような「自明」でない場合は難しい... というか数えられないんじゃないかな. たぶん「m^n+n^m が素数になるような m, n を与える」方法はないと思う.

もちろん具体的な m, n の値に対して m^n+n^m が素数になるかどうかを判定することは可能だけど, その方法では「調べて見付かったのが○○通り」としかいえず, 「全部で○○通り」ということは不可能.

Maxima でm < 10, n はてきとうに 1000 から 10000 くらいで調べたところ #4 に加えて
(m, n) = (2, 15), (2, 21), (2, 33), (3, 56), (5, 24), (7, 54), (9, 76); (2, 2007), (2, 2127), (2, 3759), (5, 1036), (7, 3076), (8, 519), (9, 122), (9, 422)
は素数になるっぽい. セミコロンより前は factor でチェックしたけど後ろは primep で調べたので間違って「素数」としてしまったかもしれない. っつ～か (7, 3076) とかをチェックするのはさすがに無理.

この回答へのお礼

無限に存在して数えることは不可能なんですね…
ありがとうございました！

お礼日時：2022/07/28 12:15

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/07/21 16:31

> そもそも解は

　素数pに対して、(m,n) = (1, p-1) は解。というわけで「n, mは1じゃない」という条件を付けないと意味をなさんでしょうね。ついでに、m,nは自然数でなくちゃダメだし、（p=2の場合以外は）m,nの一方が奇数、他方が偶数なのも明らか。
　(m,n)=(2,3), (2,9)などはすぐわかるが、3≦m＜nとなるとどうだろう。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/21 16:21

素数pに対して

m=1
n=p-1
とすると

m^n+n^m
=1^(p-1)+(p-1)^1
=1+p-1
=p

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/07/21 16:15

素数が無限にあるとするなら、

1と2以外の素数は全て３以上の奇数なわけで
それは全て2ｎ+1＝(2ｎ)＾1+1＾（2ｎ）ということになります。

No.1 回答者： 杉準夜 回答日時： 2022/07/21 16:08

無限です。

多分､､､､､
m=1,n=素数のうちのどれでもor1