複素数についての質問です。 1+iの主値を求める問題で回答が以下のようになっていました。 1＋i ＝

複素数についての質問です。
1+iの主値を求める問題で回答が以下のようになっていました。
1＋i
＝√2＊{cos{(π/4)＊(8n＋1)}＋i＊sin{(π/4)＊(8n＋1)}}
＝e^{log(√2)}＊e^{(π/4)＊(8n＋1)＊i}
＝e^{log(√2)＋(π/4)＊(8n＋1)＊i}
8n+1がどこから出てきた値なのか分かりません。
教えて頂きたいです。よろしくお願いします

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/07/22 04:12

sin θ = 1/√2 かつ cos θ = 1/√2 を満たす θ を求めろ, って話と本質的に同じことをやってはいるわけだが....

「1+i の『主値』」ってなんぞ?

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2022/07/22 05:35

正弦と余弦は周期性を持つ。

周期は2π。
なので
cosθ=cos(2π+θ)=cos(4π+θ)=…
sinも同様。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/22 09:51

展開してみれば分かるとおり、

(π/4)＊(8n＋1) = (π/4) + 2nπ

ということです。（フォントによっては、「エヌ」と「パイ」がほとんど同じに見えるので要注意）

つまり「π/4」が「0～2π」の範囲の答だが、周期関数なので「+ 2nπ」したものもすべて条件を満たすということです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/07/22 13:58

(π/4)＊(8n＋1)　= 2πn + (π/4)

実軸に対して反時計回りに45度の角度だね。

No.5 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/22 14:49

log(1+i) の主値の話をしたいのだろうけれど、

主値というのは、天から与えられるものではなくて
文脈において定義して切り取るものなのでね。

(√2)e^(iπ/4) = 1+i であることと
e^x が基本周期 2πi の周期性を持つことから
log(1+i) = iπ/4 + (2πi)n　　； n は任意の整数
　　　　= (iπ/4)(1+8n).

主値ってのは、この n に制限を加えて
複素 log を一意化しようって話だから。