ミクロ経済の問題 準線形効用関数

ある消費者の効用関数がU=√x+yであり、消費者の所得のMと財価格Px,Pyが正の値であるとき、財xの需要関数を具体的に求めなさい。（Mは任意の正の値をとりうることに注意しなさい。）

上記の問題で、自分は限界代替率＝価格比により求めたものを予算制約式に代入して需要関数を求めたのですが、末尾の文章について何も考慮しておらず、これだけでいいのか心配です。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/08/20 08:25

まだ理解できない？あなたの解答ではNo2の(2)の場合だけに答えているだけなので不十分だ、ということです。

Mは任意の正値なので、Mの値に応じて場合分け（２つの場合がある）をしなければならない、ということ。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/08/18 13:11

なぜMが関係してくるかというと、Mの値が十分大きくないと、限界代替率＝価格比で得られた消費の組を支えることができないからだ。

No.1で示したモデルを使って説明しよう。つまり、Py＝１とし、MはPyで測った所得としよう。そのとき、予算制約は
PxX＋Y＝M
とし、効用関数は
U = u(X)+Y
で与えられるとする。いま、
u'(X)=Px
を満たすX財の消費をX*（＞０）と書くと、Mを2つの場合に分ける。
(1)M≦PxX*の場合
このときの最適解（最適の消費の組）は
Y=0, X=M/Px
(2)M＞PxX*の場合、最適解は
Y=M-PxX*,X=X*
となる。もちろん、u(X)=√Xなので,X*の値は明示的に計算できる。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/08/14 17:31

>総便益を考えることが問われているxの需要関数にどう影響するのかがわかりません。

教えていただけないでしょうか？

あなたの質問の意味がわかりません。
一般的な効用関数（準線形でない効用関数）の下でも予算制約のもとでの効用最大化することによって需要曲線を導くことはできますが、その場合はその需要曲線の下の面積が何を意味するかは決して明確ではない、ということです。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2022/08/14 17:00

準線形の効用関数をより一般的に書くので、あなたの具体的な問題にあてはめてください。

効用関数は準線形で
U = u(X) + Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
であたえられるとする。ただし、u(X)はu'(X)>0,u"(X)<0,u(0)=0を満たすとする。（あなたの質問の効用関数がこの条件を満たすことをたしかめてください。）PxはY財で測ったX財の価格、所得はY財で測ってＭ単位あるとする（Ｍは任意の正数なので、このように仮定してかまわない）。すると、予算制約は
PxX+ Y = M
となる。PyはY財で測ったY財の価格なので、Py＝１、よって上の式が成り立つ。予算制約より
Y = M - PxX
となるが、これを(*)の右辺に代入すると
U= u(X) + M - PxX
よって、UをXについて最大化すると、
0 = dU/dX = u'(X) - Px
を得る。よって、
Px = u'(X)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(**)
となるが、これが準線形効用関数のもとでのX財の逆需要関数だ。この準線形効用関数がいわゆる「消費者余剰」の基礎をあたえることに注意してください。消費者余剰という概念を習ったとき、需要曲線の高さは限界便益を表しおり、したがって需要曲線の下の部分の面積は総便益を表している、と習ったでしょう。(**)が教えていることは、限界便益とは（準線形効用関数のもとでは）限界効用のことで、よってXo単位を消費することによる総便益はXoを消費することの効用を表していることがわかるでしょう。数学的には、(**)の両辺を０からXoまで積分すると

∫(0,Xo)Pxds=∫(0,Xo)u'(s)ds = u(Xo) - u(0) = u(Xo)

となることでわかる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
書いてくださっている意味は理解できるのですが、総便益を考えることが問われているxの需要関数にどう影響するのかがわかりません。
教えていただけないでしょうか？

お礼日時：2022/08/14 17:11