経済学の需要と供給に関する問題について教えてください。

ミクロ経済学の分野で以下の問題文があります。
これはどの様に解けばよいでしょうか。

D＝100-0.1pという式をした需要曲線を持つ財を考えてみよう。
ただし、Dはこの財への需要量、pは価格である。
いま、この財の供給量が50のとき、生産者全体の収入はいくらになるか。
ここで、生産者の供給量が50から少し増えたとき、生産者の収入は増えるのか、それとも減るのか。
この場合、豊作貧乏という現象は起きているのか。

という問題です。

計算式の展開についても解説を交えながら教えて戴けると助かります。
宜しくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• いつも複数回教えてくださりありがとうございます。
  No.4に書いて説明いただいた考え方で
  △R＝P△D＋D△P
  となるまでの大まかな理解はできました。
  ですが、この計算式の工程の中で少し疑問に思う点があって…。
  PとDの長方形を描いたあと、それを伸ばしてP＋△P　D＋△Dとなり、それを表すのが
  R＋DRとすると解説していただきました。
  そして、それを式としてあらわすと、R＋△R＝（P＋△P)(D＋△D）となるとのご説明でしたが、
  P＋DRがどうしてR＋△Rと変化するのかわかりません。
  
  そして式が展開されて、Ｒ＋△Ｒ＝ＰＤ＋Ｐ△Ｄ＋Ｄ△Ｐ＋△Ｐ△Ｄとした後、
  「両辺からR＝PDを差し引く」と教えていただきましたがどうして引くのか、
  このR＝PDはどこから現れたのか、分りません。
  
  これからNo.3で教えていただいた内容を再度勉強してみます。

    補足日時：2023/01/04 13:54

• 

  先ほどの補足に書き忘れてしまったのですが、
  
  頻繁に登場する△は何を示す記号なのでしょうか。
  調べてみると、「デルタ」と読み微分でターゲットの近くにとった差分（difference）のことを指しています。と書かれているのですが、いまいち理解できません。
  基本的なことをお伺いしてごめんなさい

    補足日時：2023/01/04 14:00

• 

  三次元連立方程式を解いてPS＝2500となるということは確認できました。
  価格弾力性という概念を図で自習したことはありますが、今回のような計算式は初めてです。
  教えていただいた　e = - (ΔD/D)/(ΔP/P) = - (ΔD/ΔP)(P/D)という式は
  公式としての位置づけでしょうか。
  ＝- (ΔD/D)/(ΔP/P) の式から
  ＝- (ΔD/D)/(ΔP/P)となる
  計算過程が分かりません。
  
  ΔD/ΔP＝D曲線の傾き＝-0.1
  と書いていただきましたが、最初の式D=100 - 0.1P から持ってきた数でしょうか。
  
  煮詰まってきました…

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/04 18:00

• 何度も教えていただき有難うございます。
  計算してみました。
  D＝12-P
  S＝３P
  S＝D
  
  12-P＝３P
  P＝３
  
  △9/△3＝３
  ３/９＝0.33
  
  e＝3/0.33＝９

  No.7の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/05 14:05

• 

  需要の価格弾力性は 1(＝‐△D/△P * P/D)=1/10*500/50
  となるので、生産者の収入は供給量を少し増やしてもほとんど変わらない。
  
  という説明があるのですが、1/10 とはどのように導かれているものでしょうか。

    補足日時：2023/01/05 15:02

• 先程書いていただいた、以下の文章
  
  需要関数は
  D＝100-0.1P
  と与えられている。よって、
  ΔD＝-0.1ΔP　　☜の式は「‐0.1は需要関数で示されている数字と変化分△Pをまとめて示していると
  　　　　　　　　　　いう考え方？でしょうか
  ΔD/ΔP＝-0.1　 　☜の式は10÷100＝0.1 ということでしょうか。これが　1/10となっていて
  これをeの定義式
  e = -(ΔD/ΔP)(P/D)
  に代入すして
  e= -(-0.1)(500/50)=1　　☜e=‐（‐1/10)(500/50）＝1
  となる。
  
  
  何度も詳細に教えていただきありがとうございます。
  数学が苦手なのにこの勉強をしていることに後悔しています。
  もう少し計算過程を分かりやすく教えて頂けると助かります。

  No.9の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/01/05 22:28

• 沢山教えて下さりありがとうございます。
  理解が追いつきません。
  他の勉強も並行しており、そちらの時間も作りたいので
  この内容はもう少し時間をおいてから考えてもよいでしょうか・・・
  ごめんなさい。

    補足日時：2023/01/06 12:31

No.11 ベストアンサー 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/06 10:26

訂正。

私の回答No10において

＞(*)の両辺をΔPで割ると
ΔD/ΔP=-0.1ΔP
となることはいいですか？ここまでは需要関数(*)の右辺の100はまったく関係ありません。関係しているのはPの係数の-0.1だけです！！！

とあるところはもちろん

(*)の両辺をΔPで割ると
ΔD/ΔP=-0.1
となることはいいですか？ここまでは需要関数(*)の右辺の100はまったく関係ありません。関係しているのはPの係数の-0.1だけです！！！

が正しいので、このように直してください。

この回答へのお礼

gootarohanako様
何度もご回答いただきありがとございました。
この問題は要するに、教えていただいたように、連立方程式を解いた後、
得られた結果に対して、供給量を掛け合わせてたものが答えとなる。
そして、供給量から「少し増えた数」でも同様に計算を行い、
両者の答えから、生産者が供給した量のうち、全体の収入はどちらが多いか。
つまり、沢山生産できたので供給量も増えたが全体の収入は減った場合は
「豊作貧乏」である、逆に少量の生産量でも全体の収入はそれほど減らなかった。このような場合は豊作貧乏ではない。ということになる。
難しく考えすぎてしまいましたが、やっと整理できました。
複数回に渡り教えてくださりありがとうございました。

お礼日時：2023/01/21 14:10

No.10 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/06 08:18

＞D＝100-0.1P

と与えられている。よって、
ΔD＝-0.1ΔP　　☜の式は「‐0.1は需要関数で示されている数字と変化分△Pをまとめて示していると
　　　　　　　　　　いう考え方？でしょうか
需要の価格弾力性というのは需要関数の性質なので、すべて与えられた需要関数D=100-0.1Pからきている。この需要関数の両辺の「差分」をとると
ΔD＝-0.1ΔP　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
が得られるということ。-0.1＝-1/10はPについている係数からきているということです。この差分をとるという操作を説明してみよう。上の需要関数においてPをP’としたときのDの値をD’と書くと
D' = 100-0.1P'
となることはいいですか。この式の両辺を冒頭の式から差し引くと
D-D'=(100-100)-0.1P-(-0.1P')=-0.1(P-P')
となることはわかりますか？D-D'=ΔD、P-P’＝ΔPと書くと
ΔD＝-0.1ΔP
と、上の(*)の式が得られた。P’を選ぶとき、Pの近傍の値を選ぶことが重要だ。

＞ΔD/ΔP＝-0.1　 　☜の式は10÷100＝0.1 ということでしょうか。これが　1/10となっていて、

(*)の両辺をΔPで割ると
ΔD/ΔP=-0.1ΔP
となることはいいですか？ここまでは需要関数(*)の右辺の100はまったく関係ありません。関係しているのはPの係数の-0.1だけです！！！



これをeの定義式
e = -(ΔD/ΔP)(P/D)
に代入して
e= -(-0.1)(500/50)=1　　☜e=‐（‐1/10)(500/50）＝1

少数の0.1をわざわざ分数の1/10と書きなおす必要はありません。0.1×10＝１であることはだれでも知っていることだからだ！

四則演算（＋ー×÷）だけでは駄目だ。それ以外に、「関数」の知識が必要だ。関数の一番簡単な形が1次関数
y= ax+b
だが、この関数の性質はとくに重要なので基礎から勉強しなおしてください。ｘを横軸に、ｙを縦軸にとったらどんなグラフになるのか？
つぎに2次関数
y=ax^2 + bx + c
の性質。グラフを描くとどういうかたちになるのか、ということもすぐに必要になる。

No.9 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/05 17:05

>需要の価格弾力性は 1(＝‐△D/△P * P/D)=1/10*500/50

となるので、生産者の収入は供給量を少し増やしてもほとんど変わらない。

という説明があるのですが、1/10 とはどのように導かれているものでしょうか。

需要関数は
D＝100-0.1P
と与えられている。よって、
ΔD＝-0.1ΔP
ΔD/ΔP＝-0.1
これをeの定義式
e = -(ΔD/ΔP)(P/D)
に代入すして
e= -(-0.1)(500/50)=1
となる。

何度も書いているように、-0.1はDを縦軸に、Pを横軸にとったときの曲線（直線）D＝100-0.1Pの「傾き」(=ΔD/ΔP)を表している。

あなたは
y=ax + b
という1次式を勉強したことがないのだろうか？ｙを縦軸に、ｘを横軸にとったとき、aは「傾き」Δy/Δxを表している。そしてｂはｙ切片（x=0のときのｙの値）を表す。

No.8 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/05 15:43

>D＝12-P

S＝３P
S＝D
12-P＝３P
P＝３

以上から
D=S=9
となる（この情報も必要です）。つぎに、eの定義式
e=- (ΔD/ΔP)(P/D)
に必要な情報を代入する。
P=3,D＝９ほ求めたが、ΔD/ΔP＝-1（＝D曲線の傾き）より
e= -1(-1)(3/9)=1/3
となる。
あなたの答えは合っていませんね！Δ９とかΔ３とは何ですか？そういう表現はありません。


＞△9/△3＝３
３/９＝0.33
e＝3/0.33＝９

No.7 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/05 07:02

練習問題としてあなたの以前の質問

D＝12-P
S=3P
の均衡における需要の価格弾力性eをもとめてごらん。eはいくらになる？

＞e = - (ΔD/D)/(ΔP/P) = - (ΔD/ΔP)(P/D)という式は
計算過程が分かりません。

たとえば、
(a/b)/(c/d)=(a/c)(d/b)
の両辺が相等しいことがわからないのだろうか？上のeの右辺はこれとまったく同じです。」

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/04 18:32

>教えていただいた　e = - (ΔD/D)/(ΔP/P) = - (ΔD/ΔP)(P/D)という式は

公式としての位置づけでしょうか。

需要の価格弾力性の定義であり、公式なのでしっかり覚えてください！

＞教えていただいた　e = - (ΔD/D)/(ΔP/P) = - (ΔD/ΔP)(P/D)という式は
＝- (ΔD/D)/(ΔP/P) の式から
＝- (ΔD/D)/(ΔP/P)となる計算過程が分かりません。

？？？
もしかしてe式の右辺の真ん中の式から再右辺への展開がわからない？
分数の割り算はどうやってする？記号は入っているが、小学生の問題ですよ！
e= -(ΔD/D)/(ΔP/P)=-(ΔD/D)(P/ΔP）=-(ΔD/ΔP)(P/D)
となるでしょう。

＞ΔD/ΔP＝D曲線の傾き＝-0.1
と書いていただきましたが、最初の式D=100 - 0.1P から持ってきた数でしょうか。

D曲線をDを縦軸にPを横軸にとったときの「傾き」です。この式から-0.1となるのがわかるでしょう。直線の傾きというのは直線上の点から出発してその点からPが横へΔPだけ進んだときDがΔDだけ上に行くとき、ΔD/ΔPの値のことだ、それはPの係数-0.1によって示されている。一次関数
y=ax +b
についてaは傾きΔy/Δｘを、ｂはy切片を表すことを勉強しておいてください。前にも書いたけれど、これは中学生が（おそくても高校1年生のときまでに）知っておくべき知識です。

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/04 14:52

一つ目の追加質問は

>この拡大した長方形の面積をR＋DRとすると、
R＋ΔR＝(P+ΔP)(D＋ΔD)=PD+PΔD+DΔP＋ΔPΔD

のところですね。R＋DRはR＋ΔRのミスです。ですから、

この拡大した長方形の面積をR＋ΔRとすると、
R＋ΔR＝(P+ΔP)(D＋ΔD)=PD+PΔD+DΔP＋ΔPΔD

となるのが正しい。Δは変化分を表す記号。長方形の縦の長さPをたてに少し延ばすとき延ばした分をΔPであらわす。同じくΔDは長方形の横の長さDを少し横に延ばすときその延ばした分をΔDであらわす。

ほかにはいまある財の生産量をX、その財をX単位生産するのにC(X)だけかかるとするとき、費用関数を
C=C(X)
と書くが、限界費用はΔC/ΔXとあらわす。Xを追加的に微小量ΔXだけ生産したときかかる追加的費用をΔCとするとき、ΔC/ΔXを限界費用という。しばしばΔX=1として、1単位追加的に生産するときにかかる費用のことを限界費用という使い方をすることもあります。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/04 08:07

理解できたのだろうか？沈黙していたのではこちらはわからない。

どこがわからないのか、追加質問をしてください。推測するに、

No2にある以下の部分、

＞生産者の販売収入をRと書くと
R=PD
各変数の変化分をΔをつけて表し、上で定義したeを用いると
ΔR＝DΔP＋PΔD＝(DΔP/PΔD + 1)PΔD = (1 - 1/e)PΔD
となる。

がよくわかっていないのでは？微分を知っている人なら、R＝PDを全微分していることがすぐ理解できるでしょうが、知らない人にもわかるように説明しましょう。
Pを縦の長さ、Dを横の長さを表わす長方形を描いてください。R＝PDはこの長方形の面積（＝縦×横）をあらわしている。いま、縦のPを伸ばして、
P＋ΔPとしてください。つぎに横のDを延ばしてD+ΔDとしてください。この拡大した長方形の面積をR＋DRとすると、
R＋ΔR＝(P+ΔP)(D＋ΔD)=PD+PΔD+DΔP＋ΔPΔD
R＝PDを両辺から差し引くと
ΔR＝PΔD＋DΔP＋ΔPΔD　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
を得る。ΔPとΔDがそれぞれ微小量なら、ΔPΔDは無視してよいほどに小さい値になるので、近似的に
ΔR = PΔD＋DΔP
という結果を得る。これが全微分したときの結果だ！しかしながら、ΔPやΔDが大きい値だと、（＊）の右辺のΔPΔD≒０が成り立たなくなる、ということ。私のNo3の回答の最後のところで説明したのはこの事実だ！

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/03 18:19

No2です。

私の計算間違っていますね！

＞いま、与えられた数値を（最右辺の式）に当てはめると、
ΔD/ΔP＝D曲線の傾き＝-0.1
P/D=500/50=10
より、
e=0.1/10=0.01
となる。

と書きましたが、
e = - (ΔD/ΔP)(P/D)= 0.1×10＝１

となる。e=1ということは価格１％下落する（上昇する）と需要量は１％増える（減る）ということ、よって価格×数量は変わらない、ということ。

＞生産者の販売収入をRと書くと
R=PD
各変数の変化分をΔをつけて表し、上で定義したeを用いると

ΔR＝DΔP＋PΔD＝(DΔP/PΔD + 1)PΔD = (1 - 1/e)PΔD

となる。均衡においてはΔD＝ΔSなので、これを右辺に代入すると
ΔR＝(1-1/e)PΔS
となる。e＝0.01のとき、（　）の中は負なので、供給が増えると、つまり、ΔS > 0ならば、右辺は負、つまり、生産者の販売収入は減少することがわかる。「豊作貧乏」現象が起きる、ということだ。

の後半部分の
ΔR＝(1-1/e)PΔS
のeのところにe＝１を代入するなら、
ΔR＝０
となる。生産者の収入は供給量が少し増えたとしても変化ない、ということです。結論として、豊作貧乏は起こらないということになる。
重要なことは、あくまでも「供給量が少し増える」ということで、供給量が「大きく」増えるとこの結果はなりたたない。たとえば、供給量がS=50から10増えて60になるなら、均衡価格はP=500から400へ大きく下落する！よって、生産者の収入Rは500×50＝25000から400×60=24000へ減少する。豊作貧乏が生じる。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2023/01/03 12:02

あなたの前の質問で学んだように、

D=100 - 0.1P
S=50
D=S
の3元一次連立方程式を解き、生産者の収入PS＝消費者の支出PDを計算すればよい。答えは P=500となるから、PS＝500×50=2500となる(確かめよ）。
需要の価格弾力性という基本概念を勉強したことがある？需要の価格弾力性をeと書くと
e = - (ΔD/D)/(ΔP/P) = - (ΔD/ΔP)(P/D)
と定義される。右辺にマイナスが付いているのは需要曲線は右下がり曲線（負の曲線）なので、マイナスを付けて正の値（絶対値）にするため。
いま、与えられた数値を（最右辺の式）に当てはめると、
ΔD/ΔP＝D曲線の傾き＝-0.1
P/D=500/50=10
より、
e=0.1/10=0.01
となる。何を意味するかというと、価格Pが１％下落（上昇）しても生産者の売上数量は0.01％しか伸びない（減らない）、ということ。
e<1のとき、需要は価格非弾力的、e >1のとき需要は価格弾力的という。この質問の需要曲線はP=500においてはe=0.01と、価格非弾力的であることがわかる。
価格非弾力的のとき、価格が下がっても需要量はほとんど伸びないため、価格×需要量＝生産者収入（売上金額）は供給を増やして価格を下げると、かえって減少してしまうという豊作貧乏現象がおきる。
この点を小難しく（？）説明してみましょう。
生産者の販売収入をRと書くと
R=PD
各変数の変化分をΔをつけて表し、上で定義したeを用いると

ΔR＝DΔP＋PΔD＝(DΔP/PΔD + 1)PΔD = (1 - 1/e)PΔD

となる。均衡においてはΔD＝ΔSなので、これを右辺に代入すると
ΔR＝(1-1/e)PΔS
となる。e＝0.01のとき、（　）の中は負なので、供給が増えると、つまり、ΔS > 0ならば、右辺は負、つまり、生産者の販売収入は減少することがわかる。「豊作貧乏」現象が起きる、ということだ。