A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
原点を中心に単位円描いて、cosやsinが単位円上の点の
y座標とx座標であることを使えば
角度を半周変えれば、点は単位円の反対側へ移るので
sin(θ±180°)=-sinθ
cos(θ±180°)=-cosθ
は一目瞭然。
sinは奇関数だから
sinθ=-sin(θ)
sin(180°-θ)=-sin(θ-180°)=-(-sinθ)=sinθ
cosは偶関数だから
cosθ=cos(-θ)
cos(180°-θ)=cos(θ-180°)=-cosθ
③は①と②から明らか。
No.2
- 回答日時:
三角関数を定義する方法は、いろいろあります。
同じ関数を定義したとしても、定義の文言が異なると、
こういう基本的な性質についての証明は
証明に書くべきことが違ってきます。
あなたの教科書には、どのような定義が書いてあったでしょうか。
中高の教科書の多くは、直角三角形を使って
0°〜90°に対する三角比を定義した後、
何らかの方法で角度の範囲を拡張するという手順をとります。
拡張の際に使う式も様々です。
(1) sin(-θ) = -sinθ, sin(θ+180°) = -sinθ,
cos(-θ) = cosθ, cos(θ+180°) = -cosθ を使う方法。
(2) sin(-θ) = -sinθ, sin(90°+θ) = sin(90°-θ),
cos(-θ) = cosθ, cos(90°+θ) = -cos(90°-θ) を使う方法。
(3) sin(θ+90°) = cosθ, cos(θ+90°) = -sinθ を使う方法。
他にもいろいろ。
(4) 質問の①②を拡張に使う方法もありますね。
学年が進むと、三角比から出発するのをやめて
(5) x軸から半時計回りに θ の動径と単位円周の交点の座標を
(cosθ,sinθ) と定義する方法をとることもあります。
その場合は、①②の証明は円の対称性によることになります。
sin, cos をどう定義した場合にも、
③は tanθ = sinθ/cosθ に①②を代入することになるでしょう。
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