写真の赤丸のようになぜ、(d²y/dx²)=(d/dx)(dy/dx)と変形できるのですか？ それと

写真の赤丸のようになぜ、(d²y/dx²)=(d/dx)(dy/dx)と変形できるのですか？
それともこれは定義ですか？

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/30 12:00

(d/dx) という記号の定義は (d/dx)F = dF/dx、

d²F/dx² という記号の定義は d²F/dx² = d(dF/dx)/dx です。
dF/dx の定義は知ってますね？
以上を使って、
d²y/dx² = d(dy/dx)/dx = (d/dx)(dy/dx) となります。

分数から d/dx を括りだしたかのように見えるのは、錯覚です。
ライプニッツ流の微分の記法は、そのような錯覚を誘発して
式の意味が把握しやすくなるように、絶妙に設計されているのです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/10/29 21:39

2階の微分は

y'=dy/dx
とすると
dy'/dx=d(dy/dx)/dx=d/dx (dy/dx)

これがなんで
d²y/d²x²
ではなく
d²y/dx²
なのかはよく解らんです。
単なる習慣？

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2022/10/29 20:15

定義と言うよりは「書き方の約束」と考えるべきです。

つまりyをxで1回微分したものをdy/dxと書くように、yをxで2回微分したものをd^2y/dx^2と書く事にしましょう、と言う話です。「なぜそんな書き方をするようになったのか」と言う事については知りませんが、以下のように考えれば取りあえず納得はできるのではと思います。

まず「演算をする」と言う操作を数のように見なしたものを「演算子」と言います。そして「微分する」と言う操作を数のように見なしたものを「微分演算子」と言います。そして「xで微分する」と言う微分演算子をd/dxと書くと、yをxで微分すると言うのは

(d/dx)y

と書く事ができます。これはつまり「yにd/dxを左からかける」と言う事になります。そしてyをxで2回微分すると言う事は、すなわち「yにd/dxを左から2回かける」と言う事になるので

(d/dx)(d/dx)y

=(d/dx)^2y

となります。そしてこの括弧を外したものが

d^2/dx^2y

と考えればいいのではと思います。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/10/29 19:42

書き方の約束です。

xの微小変化に対するyの微小変化の割合⊿y/⊿xの極限値をdy/dxを書く訳で、d掛けるyとか、d掛けるxでは無いです。dxで1塊です。
これが1次導関数。

2次導関数は、xの微小変化に対する⊿y/⊿xの変化の割合だから、⊿(⊿y/⊿x)/⊿x。
極限値なので、d(dy/dx)/dx。

見ずらいので、(d²y/dx²)と書きましょう、と決めたのです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/10/29 18:49

定義です