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定数C(以降定数をCということにします)の微分は、当たり前過ぎるぐらい当然のごとく0としていますが、基本に戻って、微分の定義式に当てはめてみようとすると、うまくいかないことに気付きました。
h→0 {(C+h)ーC}/hとしてみると、h→0 h/n=1 となりますが、これは当然、うまくいきません。定数であるから変化hは最初から0としても、{(C+0)ーC}/0=0/0で、これまた定義できない。
一体、どう考えればよいのでしょうか?一旦、定義式は置いといて、微分はグラフの傾きであり、定数Cの傾きは0であるから、微分すれば0になることにすると定めたということなのでしょうか?

A 回答 (10件)

「そこまでして」も何も、定義に従わなければ用語は扱えないからね。


「微分する」って何さ?って話になる。

もとの質問は、ただ単に
lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h = lim[h→0] { C - C }/h = lim[h→0] 0 = 0.
ってだけで、
f(x) = C (定数) なのに f(x+h) = C+h だと間違えなければいいだけのこと。
f(x+h) = C でしょ。
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微分の定義式は


f'(x)=lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h
なのです
x=0での微分の定義式は

f'(0)=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h
なのです

h≠0のときの変化率

{f(h)-f(0)}/h

を先に計算しなければいけません

fが定数関数の場合は
f(?) の ? の部分がなんであろうと

f(?)=C
なのです
だから

f(0)=C
f(h)=C
だから
これを
{f(h)-f(0)}/h
に代入すると

{f(h)-f(0)}/h=(C-C)/h=0/h=0
となるのです
だから

f'(0)=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h=0
となるのです
--------------------------------------
f(x)=x の場合は

f(h)=h
f(0)=0
だから
これを
{f(h)-f(0)}/h
に代入すると

{f(h)-f(0)}/h=(h-0)/h=h/h=1
となるのです
だから

f'(0)=lim_{h→0}{f(h)-f(0)}/h=1
となるのです
----------------------------------
いずれも
微分の定義の通りなのです

f(x+h)というのはx+hに対する関数fの値という意味であって
x,hという変数名等存在しなくてもよいのです

f(x) というのはxに対する関数fの値という意味であって
xという変数名等存在しなくてもよいのです
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f(x)=C


というのは
すべてのxに対して
f(x)=C
という意味なのです
だから
f(x+h)=C
なのです
だから
f(x+h)-f(x)=C-C=0
なのです
h≠0のとき
{f(x+h)-f(x)}/h=(C-C)/h=0
だから
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=0
なのです
だから
f'(x)=0
なのです
微分の定義通りなのだから
0・g(x)+C=f(x)
のような事をする必要はありません
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この回答へのお礼

度重なるご意見、ありがとうございます。
C=0・g(x)+C=f(x)とすることで、微分の定義式に当てはめやすくなると思っていましたが、これもうまくないと分かりました。それはこういうことです。
h→0C=h→0{0・g(x+h)+C}=h→0{0・g(x+h)}+h→0C
=h→0C
となり、問題は元のまま。だから、微分の定義式にうまくはめようとすると、xの欠片もないCの中にf(x)を”埋め込む”(何ともベタな苦しい表現ですが、これぐらいしか思いつきません)しかない。やはり、そこまでして定義式を用いねばならないのか、という思いはありますが、これが数学というゲームのルールならばプレイヤーの端くれとして、受け入れるだけです。

お礼日時:2022/12/15 21:00

f(x)=x


の場合
h≠0のとき

{f(x+h)-f(x)}/h
=(x+h-x)/h
=h/h
=1
だから

lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=1

と同様に

f(x)=C
の場合
h≠0のとき

{f(x+h)-f(x)}/h
=(C-C)/h
=0/h
=0
だから

lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=0
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この回答へのお礼

ありがとうございます。合間を見つけては考えていたのですが、今のところ、こうではないかと。
C=0・g(x)+C=f(x) とすると
f(x+h)ーf(x)=0・g(x+h)+Cー0・g(x)ーC=CーC=0
上式の如くに考えれば微分の定義式を適用することも可と思えてきます。それでも、こんなトリッキーなことをしてまで、定数Cを関数として微分の定義式に当てはめるようにする理由、必然性が分からない。というか、腑に落ちないのです。これからも、合間合間に考えていければと思います。

お礼日時:2022/12/13 21:20

f(x)=C


の場合
どんなhに対しても
f(x+h)=C
となるのです
だから
どんなh≠0に対しても
{f(x+h)-f(x)}/hを計算すると
{f(x+h)-f(x)}/h=(C-C)/h=0
となって
hが除かれるのです
どんなh≠0に対しても
{f(x+h)-f(x)}/h=0
となってhが除かれた式0で
h→0
としても
{f(x+h)-f(x)}/h=0

変わりはないのです
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> 定数であるから変化hは最初から0としても、


> {(C+0)ーC}/0=0/0で、これまた定義できない。

コレ間違い。
∀x,f(x) = C ;Cは定数
ならば
lim[h→0] { f(x+h) - f(x) }/h = lim[h→0] { C - C }/h = lim[h→0] 0 = 0.

{ C - C }/0 と lim[h→0] { C - C }/h は違うことに注意しよう。
極限は、代入ではない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2022/12/12 21:36

関数が定数と言うことは


その関数の変数部分に
『何を代入してもC』
だから
f(x)=Cだし
f(x+h)=Cです。
f(x+h)=C+hになるのなら定数関数ではない。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2022/12/12 21:36

微分の定義式


f'(x)=lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h

h→0はhを0に近づけるのであってh=0にすることではありません

f'(x)が存在して
任意のε>0に対して
あるδ>0が存在して
0<|h|<δとなる任意のhに対して
|({f(x+h)-f(x)}/h)-f'(x)|<ε
となるとき
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)
と定義するのです

だから
f(x)=C
の時は
f(x+h)=C
だから
任意のε>0に対して
0<|h|となる任意のhに対して
|({f(x+h)-f(x)}/h)-0|=|(C-C)/h|=0<ε
となるから
lim_{h→0}{f(x+h)-f(x)}/h=0
だから
f'(x)=0
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この回答へのお礼

ありがとうございます。これで、また、モヤモヤの一つが晴れてスッキリしました…と思ったのですが、どうも、今一つ、スッキリし切らないのです。
微分の定義式の性格というべきか、{f(x+h)-f(x)}/hを計算して分母からhが除かれた式に残るhが、0にどこまでも近づく極限で、どんな形の式になるか、が微分だという強固な固定概念があるため、h→0の極限に関係なくC-C
=0で微分が0となる形というか表現に違和感(何とも数学的ではない単なる感想なのですが)あるのです。

お礼日時:2022/12/12 21:49

>微分の定義式に当てはめてみようとすると、


誤 h→0 {(C+h)ーC}/h
正 h→0 {CーC}/h
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定義が違ってるよ。


関数fの導関数は

f′(x)=lim[h→o]{f(x+h)-f(x)}/h

これに
f(x)=C
を当て嵌めよう。

それと、h≠0を忘れないように。

それと、f(x)が定数であることからh=0は全く導けない。
どう考えたらそういう考えに至るのか興味深い。
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