大学数学 解析学 関数f(x)が［a,b］で連続であるとき、 ∮［a→b］|f(x)|dx =0 な

大学数学 解析学

関数f(x)が［a,b］で連続であるとき、
∮［a→b］|f(x)|dx =0
ならば、［a,b］上のすべてのxに対してf(x)=0であることを示せ。
ご回答よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/23 14:09

とりあえず、補題として

a≦x≦b の範囲で g(x)≧0 であれば ∫[a,b]g(x)dx≧0 であること。
これは、リーマン積分の定義から
g(x)≧0 ならば 下方和≧0 なので従う。

これを使って、a≦t≦b の範囲で F(t) = ∫[a,t]|f(x)|dx と置くと、
|f(x)|≧0 より ∫[a,t]|f(x)|dx≧0, ∫[t,b]|f(x)|dx≧0 であって
仮定より ∫[a,t]|f(x)|dx + ∫[t,b]|f(x)|dx = 0 だから
F(t) = ∫[a,t]|f(x)|dx = 0.
これを微分すると |f(t)| = dF(t)/dt = 0 となるから、
a≦x≦b の範囲で |f(x)| = 0. すなわち f(x) = 0.

No.1 回答者： ryotakurihara 回答日時： 2022/12/23 04:03

｜f(x)｜=α>0となるようなx=pが存在して、a≦p≦bだとします。

このときfは連続ですから、十分小さな正の数δをとれば、p-δ<x<p+δを満たす範囲で
α-ε<f(x)<α+εとなります。
εとしてα/2をとれば、
aからbまでfの絶対値を積分した値は、α/2×δ以上で正の値になります。
これは矛盾　よって
α=0