【 数A 円に内接する四角形 】 写真の図の問題の解答に「四角形ABCDは円に内接しているから 80

【 数A　円に内接する四角形 】
写真の図の問題の解答に「四角形ABCDは円に内接しているから　80°＋α＋40°＝180°......」
と書いてあったのですが、どうしてこうなるか教えて下さいm(_ _)m

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/02 15:54

質問者様は

80°であるのは
∠ABC=80°
ではなく
∠CBD=80°
∠CAD=80°
であると勘違いしているのです

図をよくみると
80°の文字は∠CBDの内側にあるけれども
その左の2重円弧はBCからBAまでつながっているから
∠ABC=80°
なのです

∠ABC=80°
だから
∠ADC=α+40°
∠ABC+∠ADC=80°+(α+40°)=180°

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/01/04 11:19

∠ＡＢＣ=80°

∠ADB＝α
∠BDC＝４０°　ですよね！

　タレスの定理から
∠BAD=∠BCD=９０°からその和は、１８０°だから！！
　勿論　皆さんの考えでも同じでいいですよ！

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/03 04:01

∠CBD≠80°

∠ABC≠80°+β
なので
∠ABC=80°
です
円周角の定理から
∠ACB=∠ADB=α
∠BAC=∠CDB=40°

△ABCの内角の和は180°だから

∠ABC+∠ACB+∠BAC=80°+α+40°=180°

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/03 00:41

円周角の定理であの角をこの角に移して...

とやっていると、ゴールの見通しが立ちにくい。
円弧の問題にしてしまっったほうが簡単です。
α = ∠ADB を円周角に持つ円弧は弧AB、
40° = ∠BDC を円周角に持つ円弧は弧BC、
80° = ∠CDA を円周角に持つ円弧は弧CDA。
みっつの弧を足すと一周ぶんの円周になりますから、
円周角 α+40°+80° に対応する中心角は 360°。
α+40°+80° = 360°/2 ということですね。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/02 12:14

No.1 です。

#1 は一般的に成り立つということを説明しましたが、ご質問の内容に即していえば

・弧ABC の円周角 ∠ADC = 40° + α は、中心角 ∠AOC（左側）の 1/2
・弧ADC の円周角 ∠ABC = 80° は、中心角 ∠AOC（右側） の 1/2
であり、
　中心角 ∠AOC（左側）+ 中心角 ∠AOC（右側）= 360°
なので
　弧ABC の円周角 ∠ADC (= 40° + α) + 弧BCD の円周角 ∠BAD (= 80°) = 180°
つまり
　40° + α + 80° = 180°
になります。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/02 11:45

∠ABC=80°

だから
∠ADC=α+40°
∠ABC+∠ADC=80°+(α+40°)=180°

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/02 11:42

「円周角は、同じ弧に張る中心角の 1/2 である」という性質はしていますね？　「円周角の定理」の一つでしょうか。

↓
https://www.try-it.jp/keyword_articles/22/

お示しの図でいえば、
・弧BAD の円周角 ∠BCD は、中心角 ∠BOD (=180°）の 1/2、つまり直角
・弧BCD の円周角 ∠BAD は、中心角 ∠BOD (=180°）の 1/2、つまり直角

もし BOD が直径でない場合でも
・弧BAD の円周角 ∠BCD は、中心角 ∠BOD（上側） の 1/2
・弧BCD の円周角 ∠BAD は、中心角 ∠BOD（下側） の 1/2
となります。
　中心角 ∠BOD（上側）+ 中心角 ∠BOD（下側）= 360°
ですから
　弧BAD の円周角 ∠BCD + 弧BCD の円周角 ∠BAD = 180°
になります。

つまり、「円に内接する四角形の、向かい合う頂角の和は 180° になる」ということが常に成り立ちます。