二項定理について質問です。 下の画像は、大門57-(2)の問題で、(x^3 – 1/x^2)^10

二項定理について質問です。
下の画像は、大門57-(2)の問題で、(x^3 – 1/x^2)^10 における、x^5の係数と、x^-5の係数を求めよ　という問題の解説なのですが｡｡

①
解説の真ん中にある、10Ck•(x^3)10-k …… (以下略)から、その次の行の、(-1)^k•10Ck•x^30-5x までの意味が全くわかりません。

②
①の解き方では無く、単純に、「求める係数の後ろの文字の次数が5だから、10C5となる」という考え方は危険ですか？

③
①の考え方が危険なのであれば、その理由を教えてほしいです。

長文で申し訳ないですが、以上ご教示ください。

質問者からの補足コメント

• 訂正
  ③について、
  ①の考え方が危険なのであれば、→ ②の考え方が危険なのであれば、　の間違いです。すみません。

    補足日時：2023/01/08 00:30

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/08 12:24

①

そこの式変形は、二項定理とは直接関係なくて、
二項定理で出てきた項を指数法則で整理している。

二項定理は (A + B)^n = Σ[k=0..n] (nCk) ・ A^(n-k) ・ B^k なので、
この問題の A = x^3, B = -1/x^2, n = 10 であれば
Σ の各項は (nCk)(A^(n-k))(B^k) = (10Ck) ・ (x^3)^(10-k) ・ (-1/x^2)^k ).

指数法則によって
(x^3)^(10-k) = x^( 3・(10-k) ) ,
(-1/x^2)^k = (-1・x^-2)^k = (-1)^k ・ (x^-2)^k = (-1)^k ・ x^( -2・k )
だから
(10Ck) ・ (x^3)^(10-k) ・ (-1/x^2)^k )
= (10Ck) ・ x^( 3・(10-k) ) ・ (-1)^k ・ x^( -2・k )
= (-1)^k ・ (10Ck) ・ x^( 30-3k ) ・ x^( -2k )
= (-1)^k ・ (10Ck) ・ x^( (30-3k) + (-2k) )
= (-1)^k ・ (10Ck) ・ x^( 30-5k )
と計算できる。

②③
危険というのは、不安定で間違う可能性もあるという意味だが、
その「考え方」は完全に間違っていて
安定して一直線に誤答へ向かう。

Σ[k=0..10] (10Ck) ・ (x^3)^(10-k) ・ (-1/x^2)^k ) の
k = 5 の項を取り出しても、その項の x^□ の □ は 5 になっていない。

問題は、x^( 30-5k ) が x^5 になる項の係数を求めよ
と言っている。

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/08 10:56

手計算で 10乗は 少し大変ですから、

パスカルの三角形を使ったら、答えが早く見つかるでしょう。
で、その答えから 二項定理の理解に進めば 良いのでは。
結果で x⁵ になるのは (x³)⁵*(1/x²)⁵ で、x⁻⁵ は (x³)³*(1/x²)⁷ ですね。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/08 09:33

①納得できんのなら、二項定理なんか関係なしに、愚直に手計算で展開してみれば？項が11個出てくるだけだから、タカが知れてる。

で、改めて解説を読むと、その意味がナントナクわかって来た気がするかも。次に、二項定理を使って手計算で展開してみる。で、改めて解説を読むと、その意味がもうちょっとわかって来た気がするかも。納得するまで繰り返す。
②別に危険はなく、単にペケを喰らうだけ。「求める係数の後ろの文字の次数が5だから」だなんて占いみたいなことさえ書かなければ、部分点がもらえちゃうかも。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/08 05:57

図の通り

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/08 01:02

①「意味」というなら「そのように書いておくとそのあとにつながる」ということかなぁ.

②何をどう思ってそのような考えに至ったのかがわからん. 「求める係数の後ろの文字の次数が5」だと, なんで「10C5となる」の?