ω=(z-1)/(z+1)によって、領域Res z>0 は│ω│< 1 に写ることを示せ。

ω=(z-1)/(z+1)によって、領域Res z>0 は│ω│< 1 に写ることを示せ。

この問題がわかる方がいれば教えてください。

No.8 回答者： syotao 回答日時： 2023/01/09 17:06

複素共役を　*　で表わせば　ｚ＋ｚ*＝2Rezに注意して

1－|ω|²＝1－ωω*＝1－{(z-1)/(z+1)}･{(z*-1)/(z*+1)｝
　　　　＝4(Rez)/|ｚ＋1|²　だから
　　　Rez＞0と|ω|＜1は同値。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/08 23:36

なるほど、そんな深い意味があるとは汲み取れませんでした。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/08 21:38

←No.5

No.2 は x>0 ⇒ |w|<1 を正しく示しているが、
|w|<1 ⇒ x>0 はどーしたの？ って話。

No.5 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/08 13:32

#3へ

「全射性のチェックは？」とは、意味不明なのでおせぇて。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/08 12:51

「Res z>0（zの留数が正。

なんじゃそりゃ？）」というんでは「領域」を表したことになってない。多分、Re z>0 (zの実部が正） の間違いなのだろうな。（さっぱり意味わかってないで質問を書いてるということがよく伝わってくる。）

　（複素平面で図を描けばわかるハズだと思うけど）Re z > 0 は、|z - c|^2＜|z + c|^2 （ただしcは任意の正の実数）と同値。したがって（aの複素共役をa*と書くことにすると）、Re z > 0ならば任意の正の実数cについて、
　　|z - c|^2 / |z + c|^2 ＜1
である。だから
　　((z - c)/(z + c)) ((z - c)*/(z + c)*) ＜ 1
すなわち
　　((z - c)/(z + c)) ((z - c)/(z + c))* ＜ 1
なので
　　|(z - c)/(z + c)|^2 ＜1
という話。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/08 12:51

「領域Res z>0」？ 領域 Re z>0 の間違いじゃろ。

←No.2　全射性のチェックは？

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/08 11:04

訂正

x>0
0≦(x-1)²=(x+1)²-4x → 4x/(x+1)²≦1 → 0<4x/(x+1)²≦1
→ -1≦-4x/(x+1)²<0
→ 0≦1-4x/(x+1)²<1

|w|²={(x-1)²+y²}/{(x+1)²+y²}=1-4x/{(x+1)²+y²}
　　<1-4x/(x+1)²<1

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/08 10:31

|w|²={(x-1)²+y²}/{(x+1)²+y²}

　　=1-4x/{(x+1)²+y²}
　　<1 (x>0)