くじの抽選の確率について教えて欲しいです

すいません、100枚のクジの内7枚の当たりくじがあり、15回クジが引けるものとします。
ハズレたクジは元に戻しません。

当たれば終了とします。

この場合15回以内にクジが当たる確率の計算式はどのようなものなのでしょうか？

No.10 ベストアンサー 回答者： teionmilk 回答日時： 2023/01/14 17:17

15本引くことだけしか考えず、93C15/100C15とか、93/100x92/99.... と計算するのは、非常にセンスが悪いです。

15個の掛け算になるので、時間を無駄にします。

当たりが7本で、15本引く、という試行なのだから、
15と7を比較して、少ないほうの7に着目して解くのが効率的です。

100本のクジを、引く15本と、残りの85本に分けます。
1本も当たらないとは、当たり7本が全て残りの85本に含まれることなので、

当たりの1本目が残りの85本に含まれる確率は、85/100
当たりの2本目が残りの84本に含まれる確率は、84/99
当たりの3本目が残りの83本に含まれる確率は、83/98
.....
.....
当たりの3本目が残りの79本に含まれる確率は、79/94

よって、全てはずれる確率は、

85/100 x 84/99 x 83/98 x 82/97 x 81/96 x 80/95 x 79/94

または、

85C7 / 100C7 でもいいです。


よって、少なくとも1本当たる確率は、

1 - 85/100 x 84/99 x 83/98 x 82/97 x 81/96 x 80/95 x 79/94 ≒ 0.691655251

または、

1 - 85C7 / 100C7 ≒ 0.691655251

この計算のほうが、手間が半分以下です。

この回答へのお礼

良くわかりました！とても詳しくありがとうございます！

お礼日時：2023/01/17 15:56

No.9 回答者： hondarawa 回答日時： 2023/01/12 21:04

#6さんので式はあってますが、計算が間違ってます。

１ - (93C15)/(100C15) ≒ 0.691655…　です。

この問題は、
「100枚のクジの内、15枚が当たり、7回クジが引ける」と考えても同じ結果になることを覚えておくと計算が楽になります。15回の掛け算が7回になる。
「当たりくじ」と「引いたくじ」の２つに数学的な意味の違いはないからです。

この回答へのお礼

分かりやすかったですありがとうございました。

お礼日時：2023/01/17 15:55

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/12 07:30

15回以内で当たる確率

=―回目で当たる確率+2回目で当たる確率+・・・+15回目て当たる確率①
で計算できるけど、

これは
15回引いて1個以上当たる確率②と同じ。
つまり、15回引いて1個もあたらない事象の確率を③とすると 。

①=②=1-③

これを確認してみるのも面白いかも。

手間は1-③が最も少ない。

No.7 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/11 15:34

15回引いて当たりが出ない確率をPとすると、コタエは1-P。

ではPはいくら？
100枚のクジの内7枚の当たりくじ。
1枚目がハズレの確率は (100-7)/100。クジの数はあと99枚。
2枚目もハズレの確率は (99-7)/99。クジの数はあと98枚。
3枚目もハズレの確率は (98-7)/98。クジの数はあと97枚。
:
14枚目もハズレの確率は (87-7)/87。クジの数はあと86枚。
15枚目もハズレの確率は (86-7)/86。クジの数はあと85枚。
なので
P = ((100-7)/100)×((99-7)/99)×…×((87-7)/87)×((86-7)/86)

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/11 15:34

１ - (93C15)/(100C15) ≒ 0.652…

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/11 14:44

#4です。

文字がつぶれて読めないみたいです。
「超幾何分布」で検索してみて下さいね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
こちらはPCなので文字はつぶれず読めます。

詳しい資料ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/12 02:04

No.4 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/11 14:35

#3です。

ごめんなさい。間違えました。

#2さんが書かれているとおりです。
超幾何分布で、n＝15回の試行中に、x=0回しか生起しない確率を求めて、１から引けば良いです。

式を書くのが面倒なので、関連資料を貼っておきます。
添付表の一番下の確率質量の式を使います。

No.3 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2023/01/11 14:18

有限母集団だから、超幾何分布に従います。

ｘ＝０からｘ＝15までの確率を足せば良いです。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/11 13:50

「全部外れる確率」を計算して 1 から引く.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

お礼日時：2023/01/12 02:05

No.1 回答者： Moryouyou 回答日時： 2023/01/11 13:46

7/100+7/99+7/98･･･

7/88+7/87+7/86
ですね。

通分が面倒なのでここまで。