三角関数の問題です この問題の(2)がわかりませんそこまでは理解できました どのように解けば良いので

三角関数の問題です
この問題の(2)がわかりませんそこまでは理解できました
どのように解けば良いのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/17 22:46

(1) は分かってできた、ということですね？

三角関数の合成を行えば

t = sinθ - (√3)cosθ
　= 2{(1/2)sinθ- [(√3)/2]cosθ}
　= 2{cos(π/3)sinθ- sin(π/3)cosθ}
　= 2sin(θ - π/3)　　　①

また、
y = (t - 2a)t + a(a - 2)
　= t^2 - 2at + a(a - 2)
　= (t - a)^2 - a^2 + a^2 - 2a
　= (t - a)^2 - 2a　　　②


(2) ここでの θ の範囲は、(1) の「(1/2)π ≦θ ≦ (3/2)π」の条件とは関係ないと解釈する。

a=3/2 とすると、②は
　y = (t - 3/2)^2 - 3
これは
　t = 3/2 のとき、最小値 -3
ということ。
つまり、t = 3/2 となる範囲を含んでいないといけない、ということ。

①より
　t = 2sin(θ - π/3) = 3/2
→　sin(θ - π/3) = 3/4　　　(A)

従って、θの範囲は(A)となる範囲を含んでいなければならない。

（A) となるのは
　θ - π/3 = arcsin(3/4)
→　θ = arcsin(3/4) + π/3
であり、おおむね
　(1/4)π < arcsin(3/4) < (1/3)π
　(2/3)π < arcsin(3/4) < (3/4)π
であることから
　(7/12)π < θ < (2/3)π
　π < θ < (13/12)π
となる。

この範囲を含むのは
　①と④

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/17 22:22

「この問題の(2)がわかりませんそこまでは理解できました」ってどういうことなんだろう. 「『問題の (2) がわからない』ということが理解できた」ってことなのかなぁ.

上で y を t で表してるから, θ の範囲を t の範囲に変換すればいいんじゃね?