不等式

x≧0,y≧0,x+y≦2 を同時に満たす,x,yについて
z=2xy+ax+4y
の最大値を求めよ.但し、a は、負の定数とする.

質問者からの補足コメント

• 

  ご回答ありがとうございます
  
  私の答案も見ていただけると幸いです
  
  ご評価、ご指導ください
  
  https://imgur.com/a/AnvuaqP

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/14 09:59

• >何が何だかさっぱりです。
  
  お互い様ではないでしょうか
  
  解法の指針は、双曲線　y=k/x の　分子の最大は、原点からの関数y=k/x ,y=xの交点までの距離(d)の最大を考えることと同値
  
  何か、私の考え方に不備、誤りがあるなら、ご指摘下さい

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/14 16:53

• 追伸
  
  kの値が大きくなれば、ｄ の長さも、同様に大きくなります

    補足日時：2023/02/14 16:58

• この問題は大学入試レベルで解決できるのでは
  ないでしょうか
  
  endlessriverさんの数学力には舌を巻くばかりですが
  
  高校生レベルで考えるならどのような考え方を持ち出すのか興味のあるところです

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/14 17:19

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/14 17:05

そうですか。

標準的な回答なのですが、お邪魔な
ようでした。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/14 16:05

補足について

何が何だかさっぱりです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/14 08:43

開集合　x>0,y>0,x+y<2 で最大を持てば、それは停留点(極大)

になるから
　zx=2y+a=0 , zy=2x+4=0 → y=-a/2, x=-2
なので、停留点は範囲にない。

また、有界閉集合 x≧0,y≧0,x+y≦2 上の連続関数 zは必ず最大・
最小値をもつ。したがって、最大値は境界 x=0, y=0, x+y=2
(0≦x,y≦2)上にある。それらの値を求め、最大を選べばよい。

　z(0,y)=4y → 最大は y=2 で、 4・2=8
　z(x,0)=ax → 最大は x=0 で、0 (a<0 なので)

x+y=2のときは
　z=2x(2-x)+ax+4(2-x)=-2x²+ax+8=-2(x-a/4)²+a²/8+8
a<0 なので、最大値は x=0 で
　z=8

ゆえに、最大値は
　x=0, y=2 で z=8