【 数A 自然数の積と素因数の個数 】

問題
　1から240までの240個の自然数の積 N=1・2・3・……・240 について、
　Nを素因数分解したとき、素因数3の個数を求めよ。

解答
　※写真

疑問
　素因数3の個数というのは、どういうことですか？（素数3の個数？）
　また、「Nを素因数分解したときの素因数3の個数」が、
　「240/3, 240/3^2, 240/3^3, 240/3^4の個数の和」で求まるのですか？
　この2点について教えて下さい。

No.2 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2023/03/03 09:07

３の倍数以外は素因数に３を含まないので、１～２４０までの３の倍数を考えます。

３，６，９，１２，１５・・・・２４０（全部で８０個）
うち３＾２＝９の倍数９，１８，２７，３６・・・・２３４（全部で２６個）は素因数３が２個以上です。
さらに、うち３＾３＝２７の倍数２７、５４、８１・・・・
２１６（全部で８個）は素因数に３が３個以上です。
さらに、３＾４＝８１の倍数８１、１６２の２個は素因数に３が４個です。
したがって、
２４０！＝３＾（８０＋２６＋８＋２）×Ｋ
と表せるはずです。（Ｋは素因数に３を持たない自然数）
したがって、素因数３の個数は１１６

※素因数に３が一つなのは８０－２６＝５４（個）、３が二つなのは２６－８＝１８（個），３が三つなのは８－２＝６（個）、四つなのは２（個）なので、５４＋１８×２＋６×３＋２×４＝１１６でも良いのですが、
（８０－２６）＋２（２６－８）＋３（８－２）＋４・２
＝８０－２６＋２・２６－２・８＋３・８－３・２＋４・２
＝８０＋２６＋８＋２
なので、最初から８０＋２６＋８＋２と計算しています。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/03/03 00:21

前者については「素因数の積で表したときに『3』が何回出てくるか」ってこと. 例えば 45 = 3×3×5 なら 2回出てくるから「素因数 3 の個数」は 2 になる.

で後半については「『240/3, 240/3^2, 240/3^3, 240/3^4の個数の和』ってなに?」だな. 「240/3 の個数」ってなに?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「240/3, 240/3^2, 240/3^3, 240/3^4の個数の和」というのは、
「3の倍数の個数+3²の倍数の個数+3³の倍数の個数+3⁴の倍数の個数」です。

説明不足ですみません、、、

お礼日時：2023/03/03 00:34