res(g(z),a) =1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n

res(g(z),a)
=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^n g(z)
にg(z)=1/(z+1)を代入しても、

={1/(n+1)lim_(z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}にならないのですが、なぜでしょうか？

過去に、2022.1.22 04:03に解答していただいた時はg(z)=1/(z-1)としてから、
画像のような過程の計算を挟んで
{1/(n+1)lim_(z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導きましたが。

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/30 16:36

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の右辺の意味は
1/(z+1)をn+1回微分してからz→1としてから1/(n+1)!をかけると
いう意味です

1/(z+1)
を
n+1
回
微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)

となるのです
次に

z→1
とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=(n+1)!(-1)/(-2)^(n+2)

となるのです
次に

1/(n+1)!
を
かけると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)

になるから

a(n)=-1/(-2)^(n+2)

となるのです

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/30 16:31

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

の右辺の意味がわからないのですか?
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
の右辺の意味は

1/(z+1)
を
n+1
回
微分すると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/(z+1)^(n+2)

となるのです
次に

z→1
とすると

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!(-1)^(n+1)/2^(n+2)
=(n+1)!(-1)/(-2)^(n+2)

となるのです
次に

1/(n+1)!
を
かけると

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)

になるから

a(n)=-1/(-2)^(n+1)

となるのです

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/30 09:54

a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

から
a(n)=-1/(-2)^(n+2)　…(4)

については
図の通り

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。
せっかく画像で回答していただいたのですが、
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
から
a(n)=-1/(-2)^(n+2)　…(4)
となる導ける過程の計算がわかりませんでした。

申し訳ないのですが、
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
から
a(n)=-1/(-2)^(n+2)　…(4)
になるまでを詳しく教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2023/03/30 12:23

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/30 09:15

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)

から

a(n)
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz　…(2)

については

図で
c=1
γ={|z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)

とすれば

a(n)
={1/(2πi)}∫_{γ}f(z)/(z-c)^(n+1)dz
={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}{1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz
=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)

となる

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/30 03:48

①

も
②
も
f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}　…(3)
を
導いているのです

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)は
1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}の
積分計算なので、積分計算は困難等の理由で、
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)から
直接
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
を導くことはできないのです
-------------
f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
から
a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)　…(2)

を導いて

(2)と(3)が同じa(n)になるから

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
=a(n)
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
が
間接的にいえるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

>>
「①
も
②
も
f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
から
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}　…(3)
を
導いているのです」

に関しましては、
要は①も②も
2023.3.28 10:34に頂いた画像より
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}　…(3)
を求める上で特に深い意味はないですが、
必要な計算だったと言いたかっただけなのでしょうか？



また、
2023.3.29 04:10に関して
質問がございます。
(1)から(3)を導く過程の式は
2023.3.28 20:21に書いてありますが、
出来れば、
「f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
↓
…
↓
a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz　…(2)
」
に関して(1)から(2)を導くまでの過程の「…」を教えていただけないでしょうか？


また、
2023.3.29 04:10に関して、
「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)　…(4)」
に関して、
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
から
-1/(-2)^(n+2)　…(4)
を導くまでの過程の計算式も教えて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/03/30 05:56

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/29 04:10

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}からは

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導いてはいません

----------------------------------------------------------------

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
↓
…
↓
a(n)=Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}dz　…(2)

(1)から(2)が導かれるのです

-----------------------------------------------------------

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-1)^n　…(1)
↓
…
↓
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}　…(3)
↓
…
↓
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)　…(4)

(1)から(3)が導かれ
(3)から(4)が導かれて
a(n)=-1/(-2)^(n+2)
が求められるのです

-----------------------------------------------------------

Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)=a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}　…(5)

(2)と(3)から
(5)が導かれるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

すいません。
伝え方が悪かったです。

質問者さんからのお礼
2023.3.28 22:46の
①については正しいですが、
②に関しては、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}を含んだ式、
Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)から
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導いたと伝えたかったのです。

お礼日時：2023/03/29 23:06

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/28 20:21

g(z)=1/(z+1)からも　

g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}からも
a(n)の式を導いていません

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
のa(n)を求めているのです

f(z)=1/(z^2-1)
はz=1で1位の極をもつから
のz=1のまわりのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m+1-n)!}a(m)(z-1)^(m+1-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

これがa(n)の式です

この回答へのお礼

あ、すいません。
過去にいただいた①より
g(z)=1/(z+1)から{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}ではなく、
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導いたとわかりました。

また、②より
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}からは
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を導いたとわかりました。

お礼日時：2023/03/28 22:46

No.10 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/28 14:28

で、そもそもの話に戻るんだが、

f(z) = 1/(z^2 -1) をローラン展開する話に
なぜ res(g(z),a) が出てくるんだろうか？
これが res(1/(z+1),-1) の話をしているのか
res(1/(z-1),1) の話をしているのかも
その質問文では微妙だし。

f(z) を z = 1 中心にローラン展開するのなら、
計算の過程に g(z) = 1/(z+1) は登場するが
res(1/(z+1),-1) も res(1/(z+1),1) も出番は無い。
だいいち、1/(z+1) は z = 1 で正則だから
res(1/(z+1),1) = 0 であることは計算するまでもない。

もし、質問文自体は気にする必要がなくて
f(z) = 1/(z^2 -1) をローラン展開すればいいだけなら、
(z-1) f(z) = 1/(z+1) = (1/2)/{ 1 - (-1/2)(z-1) } が
等比級数の和の形をしていることから
(z-1) f(z) = 1 + {(-1/2)(z-1)} + {(-1/2)(z-1)}^2 + {(-1/2)(z-1)}^3 + ...
を両辺 (z-1) で割って
f(z) = 1/(z-1) + (-1/2) + {(-1/2)^2}(z-1) + {(-1/2)^3}(z-1)^2 + ...
これで済む。

上記の計算は、要するに g(z) = 1/(z+1) を z = 1 中心に
テイラー展開しているのだが、
いわゆるテイラー展開の公式のようなものを使うよりも
等比級数に帰着するほうが基本的だ。
解析学のたいていの入門書で、冪級数の収束性は
等比級数の収束性に帰着して説明しているのだから。

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/28 10:34

f(z)=1/(z^2-1)

はz=1で1位の極をもつから
のz=1のまわりのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m+1-n)!}a(m)(z-1)^(m+1-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(1)

図の①で、この右辺の(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を求めて

図の②で、(1)の右辺を求めている

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あの、今更で申し訳ないのですが、
なぜg(z)はg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}ではなく、
g(z)=1/(z+1)なのでしょうか？
また、

なぜg(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}ではなく、
g(z)=1/(z+1)からでも
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}とした場合の過程の計算は異なりますが、
g(z)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}とした場合と同じa(n)=-1/(-2)^(n+2)の式が導けたのでしょうか？

お礼日時：2023/03/28 19:34

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/03/28 04:04

f(z)=1/(z^2-1)

はz=1で1位の極をもつから
のz=1のまわりのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+Σ_{m=n+1～∞}{(m+1)!/(m+1-n)!}a(m)(z-1)^(m+1-n)
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(1)

画像ではこの右辺の(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を求めて...①

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)
と求まり

↓両辺に{1/(n+1)!}lim_{z→1}　をかければ

画像では(1)の右辺を求めて...②

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)
と求まるのです

①を求めることによって②が求まるのだから
どちらも正しい

この回答へのお礼

ありがとうございます。

あのお手数をかけて申し訳ないのですが
画像のどの部分が
「a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(1)

画像ではこの右辺の(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}を求めて...①」

と
「(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)
と求まり

↓両辺に{1/(n+1)!}lim_{z→1}　をかければ

画像では(1)の右辺を求めて...②」

と言った①と②がを
表しているのか色のついた下線部でも、まるで囲むでも良いので載せた画像を用いて教えていただけないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2023/03/28 08:45