積分の問題について教えていただきたいです。 ∫(√(x^2+a^2)/x)dx 答えは、√(x^2+

積分の問題について教えていただきたいです。

∫(√(x^2+a^2)/x)dx

答えは、√(x^2+l^2)-alog{(a+√(x^2+l^2))/x}
になっています。

この過程を教えていただきたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/25 22:51

t=√(x²+a²)

とおく。
　dt=xdx/√(x²+a²)

　∫(√(x^2+a^2)/x)dx
　=∫{ (√(x²+a²))/x }²・{x/√(x²+a²)} dx
　=∫{ (x²+a²)/x² }・{x/√(x²+a²)} dx
　=∫ {t²/(t²-a²)} dt=∫{1+a²/(t²-a²)} dt
　=t+(a²/2a)∫{1/(t-a)-1/(t+a)} dt
　=t+(a/2){log|t-a|-log|t+a|}
　=t-(a/2)log(|t+a|/|t-a|)
　=t-(a/2)log{ (t+a)²/|t²-a²| }
　=√(x²+a²)-(a/2)log{ (√(x²+a²)+a)²/x² }
　=√(x²+a²)-alog{ (√(x²+a²)+a)/|x| }

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2023/04/25 23:13