数学で a*c+b*c=(a+b)*c が成り立つのはなぜですか？

数学で
a*c+b*c=(a+b)*c
が成り立つのはなぜですか？

（*は掛け算。数学の教科書的には　X　マークを使いますが、ここではコンピューター的に　*　を使いました）

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/05/02 20:12

なお世の中には

(a+c)*(b+c) = (a*b)+c
が成り立つ世界もある.

もちろんこの「+」や「*」は
ふつうの数における演算
ではないが.

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 23:48

←No.5

ああ、八元数は非分配じゃなくて非結合だったっけ。
面目ない。およそ使わんから、忘れてるねえ。

No.6 回答者： ricardo_ 回答日時： 2023/04/30 23:35

アップルとバナナが入った袋が5個有ります。

袋を開けて並び替えれば、アップルが5個、バナナが5個になります。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/04/30 22:12

「数学」とまで一般化しちゃうと, 「分配則が常に成り立つ」わけではない. そもそも一般には (「+」と「*」で表される) 2種類の演算が存在するとは限らんのよ.

で, 「成り立つのはなぜですか？」に対しては「あなたがそのようなもの (だけ) を見ているから」あるいは「(結果的に) そのように定義された『+』と『*』を扱っているから」となるだろうか. これは #3 で最後に触れられている
「分配律が成り立たないような足し算や掛け算を持つ数体系は
実数や複素数として認めない...という話です。」
にからむ話で, 裏返していうと
「実数」や「複素数」 (など) として認めてもらわなくていいのであれば, 分配則が成り立たないような数体系を考えてもいい
ということになる. そこにどのようなメリットがあるのかは知らんけど.

なおいちおう突っ込んでおくと八元数でも分配則は成り立つ＞#3. ケイリー=ディクソン構成法だと実質的に「定義 (の一部)」だし.

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/30 21:56

掛け算の定義と、()を先に計算すると言う約束から。

掛け算の定義：aをb個足し合わせた数をa×bと書く。

掛け算の定義より、
(a+b)×c=(a+b)+(a+b)+・・・+(a+b)　：(a+b)をc個足し合わせる。

順番を変えると
(a+a+・・・・+a) + (b+b+・・・・+b)　：各々c個足し合わせる。

掛け算の定義より、
(a+a+・・・・+a)＝a×c、(b+b+・・・・+b)＝b×c

∴(a+b)×c=a×c + b×c

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/30 21:34

a*c+b*c=(a+b)*c は、

a,b,c の範囲を実数、複素数、ハミルトン四元数まで広げても成り立ちますが、
ケイリー八元数だと成り立ちません。

その法則(分配律)は、
+ や * の性質というよりは、a,b,c が属する集合の性質なんです。
そのことを「分配律は実数の定義の一部である」とか
「分配律は複素数の定義の一部である」とか言います。
分配律が成り立たないような足し算や掛け算を持つ数体系は
実数や複素数として認めない...という話です。

No.2 回答者： いなばのしろうさぎ 回答日時： 2023/04/30 21:21

分配法則だからです。

その仕組みは以下の如く。
https://goukaku-suppli.com/archives/43184

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/04/30 21:08

公理です。