確率の問題について

P(A∩B|C) = P(A|C) P(B|C)が成り立つ時Cを与えたもとでAとBは条件付き独立であるという。

数値はダミーです。
P(A) = 0.2, P(B) = 0.8 , P(A∩B) = 0.5, P(A∩C) = 0.4, P(B∩C) = 0.3, P(A∩B∩C) = 0.1
と与えられている時P(C)はどのように求めますか？教えてください。

質問者からの補足コメント

• 数値はダミーで置いていたのでありえない確率となってしまいました。
  申し訳ございません。解法教えていただきありがとうございます。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/05/08 15:35

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/08 14:14

後半の計算問題に、もし

C の下で A と B が条件付き独立である
という仮定が加えてあるのならば、
No.1 の 7本の式に P(A∩B|C) = P(A|C) P(B|C) を添えた　←[1]
8元8連立方程式を解けば P(C) が求まります。

No.1 の 8個の未知数の式として方程式を書き換えると、
P(A∩B∩C) + P(A∩(notB)∩C) + P(A∩B∩(notC)) + P(A∩(notB)∩(notC)) = 0.2,
P(A∩B∩C) + P((notA)∩B∩C) + P(A∩B∩(notC)) + P((notA)∩B∩(notC)) = 0.8,
P(A∩B∩C) + P(A∩B∩(notC)) = 0.5,
P(A∩B∩C) + P(A∩(notB)∩C) = 0.4,
P(A∩B∩C) + P((notA)∩B∩C) = 0.3,
P((notA)∩(notB)∩(notC)) = 0.1,
1 = P(A∩B∩C) + P((notA)∩B∩C) + P(A∩(notB)∩C) + P(A∩B∩(notC))
　+ P((notA)∩(notB)∩C) + P((notA)∩B∩(notC)) + P(A∩(notB)∩(notC))
　+ P((notA)∩(notB)∩(notC)).
これらの式から、各未知数をどれかひとつの未知数の一次式で表し、
[1] へ代入すれば、その未知数の値が決まって他の未知数の値も求まる

...って、オイ。 [1] を仮定したら、
[1] ⇔　P(A∩B∩C)/P(C) = { P(A∩C)/P(C) }{ P(B∩C)/P(C) }
　　⇔　P(A∩B∩C) P(C) = P(A∩C) P(B∩C).
に問題文中の値を代入して
P(C) = P(A∩C) P(B∩C)/P(A∩B∩C)
　　= 0.4 × 0.3 / 0.1
　　= 1.2
　　> 1
となり、そんなデータはありえないって判ってしまうんだが。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/05/08 14:00

P(A∩B) = 0.5なのにP(A)がそれ未満ということはあり得んですね。

デタラメ。

No.2 回答者： kantansi 回答日時： 2023/05/08 13:55

条件付き独立の式P(A∩B|C) = P(A|C) P(B|C)を使うと、以下のように変形できます。

P(A|C) = P(A∩B|C) / P(B|C)
P(B|C) = P(A∩B|C) / P(A|C)

ここで、A∩B∩C = P(A∩B|C)と置き換えて、条件付き確率の式を使い展開すると、以下が得られます。

P(A|C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C)
P(B|C) = P(A∩B∩C) / P(A∩C)

以上の式を元に、P(C)を求めるためには、P(A∩B∩C)を求める必要があります。

P(A∩B∩C) = P(A∩B|C) P(C) = P(A|C) P(B|C) P(C) = 0.1

次に、P(B∩C)を求めるために、同様の式変形を行います。

P(B∩C) = P(A∩B∩C) / P(A|C) = 0.1 / 0.4 = 0.25

同様に、P(A∩C)も求めます。

P(A∩C) = P(A∩B∩C) / P(B|C) = 0.1 / 0.3 = 1/3

P(C)を求めるために、全確率の法則を使います。

P(C) = P(A∩B∩C) + P(A'∩B∩C) + P(A∩B'∩C) + P(A'∩B'∩C)
= P(B∩C) P(A|B∩C) + P(B'∩C) P(A|B'∩C)

ここで、P(B'∩C) = 1 - P(B∩C) = 0.75となります。

また、P(A|B∩C) = P(A∩B∩C) / P(B∩C) = 0.1 / 0.25 = 0.4となります。

以上の値を代入して計算すると、P(C) = 0.55となります。

したがって、P(C)は0.55です。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/05/08 13:53

条件付き独立の定義を確認したことと

後半の計算問題に何の関係があるのか判らない。
どういう問題なんでしょう？

後半の問題だけだと、答えは決まりません。
P(A∩B∩C), P((notA)∩B∩C), P(A∩(notB)∩C), P(A∩B∩(notC)),
P((notA)∩(notB)∩C), P((notA)∩B∩(notC)), P(A∩(notB)∩(notC)),
P((notA)∩(notB)∩(notC))
という 8個の未知数に対し、
与えられた
P(A) = 0.2, P(B) = 0.8 , P(A∩B) = 0.5,
P(A∩C) = 0.4, P(B∩C) = 0.3, P(A∩B∩C) = 0.1
に、確率で常に成り立つ式
1 = P(A∩B∩C) + P((notA)∩B∩C) + P(A∩(notB)∩C) + P(A∩B∩(notC))
　+ P((notA)∩(notB)∩C) + P((notA)∩B∩(notC)) + P(A∩(notB)∩(notC))
　+ P((notA)∩(notB)∩(notC))
を合わせた 7本の式しかないからです。

8元7連立一次方程式では、条件不足で解は一意に決まりません。