整数問題 22 整数問題LAST 2次方程式の解

本題

まず、 m は整数であるから、2次の係数で場合分けはわかりますが

m=0 , m<0, m>0

問題文の『少なくとも1つが整数』が難儀

識者の方のアプローチも教て下さい

以下問題

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質問者からの補足コメント

• 

  本題
  
  LAST にしては易問でした
  
  私は、m について解いて x の範囲を絞りました
  
  私の答案は省略します
  
  今まで、整数問題21 にお付き合いいただきありがとうございました
  
  次回から、場合の数、確率にテーマに進んでいこうと思っています
  
  今後も　minamino を宜しくお願い致します。
  
  本当にありがとうございました
  
  from minamino

    補足日時：2023/06/09 05:59

No.6 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/10 05:35

mx^2+16x+m+2=0

m=0と仮定すると
16x+2=0
8x+1=0
x=-1/8は整数でないから
m≠0

mx^2+16x+m+2=0
(mx)^2+16mx+m^2+2m=0
(mx+8)^2-64+(m+1)^2-1=0
(mx+8)^2+(m+1)^2=65
0≦(mx+8)^2=65-(m+1)^2…(1)
(m+1)^2≦65
|m+1|≦√65
0≦|m+1|≦8

|m+1|=0のとき(1)から(mx+8)^2=65となって不適
|m+1|=2のとき(1)から(mx+8)^2=65-4=61となって不適
|m+1|=3のとき(1)から(mx+8)^2=65-9=56となって不適
|m+1|=5のとき(1)から(mx+8)^2=65-25=40となって不適
|m+1|=6のとき(1)から(mx+8)^2=65-36=29となって不適

|m+1|=1のときm≠0だから
m=-2

|m+1|=4のとき
m=-1±4
m=3
.or.
m=-5

|m+1|=7のとき
m=-1±7=6,-8
(1)から(mx+8)^2=65-49=16
|mx+8|=4
m=-8と仮定すると
|-8x+8|=4
2|1-x|=1となってxが整数である事に矛盾するから
m=6

|m+1|=8のとき
m=-1±8
m=7
.or.
m=-9

だから

m = -2, 3, -5, 6, 7, -9

この回答へのお礼

教授おはようございます

ご回答ありがとうございました’

絶対値を取るあたり参考になりました

今回も有難うございました

from minamino

お礼日時：2023/06/10 08:52

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/09 13:52

ｍを任意の整数とする問題だったんだが、

mを求める問題だったんだか...
ｍを求めるんだと思ったのだけどね。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/06/08 22:00

mx^2+16x+m+2=0

m=0と仮定すると
16x+2=0
8x+1=0
x=-1/8は整数でないから
m≠0

だから

m = -2, 3, -5, 6, 7, -9

この回答へのお礼

教授おはようございます。
この問題は教授には簡単過ぎましたね

これまで整数問題を21題扱ってきましたが
教授から多くのことを学ばせて頂きました

心から感謝いたします。

今日からは、場合の数、確率をテーマに進んでいこうと思います

何卒宜しくお願い致します。

本当にありがとうございました

from minamino

お礼日時：2023/06/09 06:04

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/08 10:33

誤字訂正：

問題の方程式が整数解を持つ m は
m = 0, -2, 3, -5, 6, 7, -9 の 7 個。

この回答へのお礼

学者さん、おはようございます

今まで、整数問題21題にお付き合いいただきありがとうございました

色々と失礼な発言はありましたが、お許しください。

個人的に学者さんのことは好きですから大目に見てください。

今日からテーマを移して、場合の数、確率に進んでいきます

何卒宜しくお願い致します。

本当にありがとうございました

from minamino

お礼日時：2023/06/09 06:08

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/06/08 10:31

まず、方程式が二次か一次かで話が大きく違うから、

m ≠ 0 と m = 0 で場合分けする。
m = 0 の場合、この方程式は有理数解 x = -(m+2)/16 を持つ。
以下、m ≠ 0 の場合を扱う。

解公式を見れば判るように、有理係数の二次方程式は
解の一方が有理数であれば他方も有理数である。
問題の方程式が有理数解を持つ必要条件として、
判別式の平方根が有理数であることが挙げられる。
すなわち、D/4 = 8^2 - m(m+2) = k^2 と置いた k が有理数であること。
m が整数であることから、k は有理数であれば整数でもある。

8^2 - m(m+2) = k^2, k ≧ 0 の整数解を見つけよう。
式を変形して、(m+1)^2 + k^2 = 65.
左辺の項はどちらも非負だから、65 以下の平方数
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 の中から和が 65 のものを探して
((m+1)^2, k^2) = (1,64), (16,49), (49,16), (64,1).
すなわち、(m,k) = (0,8), (-2,8), (3,7), (-5,7), (6,4), (-8,4), (7,1), (-9,1).

m = 0 は、二次方程式ではなく別件である。
他の 7 組のうち、解 x = (-8±k)/m の少なくとも一方が整数になるものは
(m,x) = (-2,0), (-2,8), (3,-5), (-5,3), (6,-2), (7,-1), (-9,1).

以上より、問題の方程式が整数解を持つ m は
m = 0, -2, 3, -5, 6, 7, 9 の 7 個。

No.1 回答者： kmee 回答日時： 2023/06/08 10:31

最後まで解いていません。

(1) m=0のときについて調べる
→該当無し

(2) ax^2+bx+c=0 で
　s=-b
　t=√(b^2-4ac)
　r=2a
と置くと
　解の公式 = (s±t)/r
となる。
これの少なくとも1つは整数なので
　(s+t)/r が整数 または (s-t)/rが整数
となる。
これは
s+t = nr または s-t = nr
となる整数 n が存在する、ということである。

以上のことを与式に対して適用し、mの条件を求めていく。
・s,rが整数になるので、tも整数でなければならない。というあたりから解けそうな気がする

この回答へのお礼

お初です

m について解いて、分子>分母 で x の範囲を搾るのもいいかと思います

from minamino

お礼日時：2023/06/09 06:11